Hallar el valor máximo y el valor mínimo de la función 〖f(x)=x〗^3-3xEn el intervalo

Lo primero que hacemos es calcular la derivada de la función para así poder obtener los puntos críticos donde puede haber máximos o mínimos

$$\begin{align}&f'(x)= 3x^2-3\end{align}$$

y ahora igualamos a 0 para obtener los puntos críticos...

$$\begin{align}&3x^2-3=0\\&3x^2=3\\&x^2=1\\&x1=+1\\&x2=-1\end{align}$$

ya tenemos los puntos de la función que son -1 y +1 pero como solo nos pide que analizamos en el intervalo [0;2] nos quedamos con el +1 y descartamos el -1...

Ahora para saber si en x=+1 la función tiene un máximo o un mínimo debemos calcular la función en dicho punto critico y en los extremos del intervalo para así poder comparar si los valores obtenidos en los extremos del intervalo son mayores o menores al valor obtenido en el punto critico...

$$\begin{align}& f(x)=x^3-3x\\&\\& f(0)=0\\& f(1)=-2\\& f(2)=2\end{align}$$

sabiendo que la función valuada en el punto critico nos da el numero mas pequeño podemos asegurar que tenemos un mínimo relativo en el punto (x;y)=(-2;1) y a su vez también podemos asegurar que como al valuar la función en el extremo x=2 del intervalo nos dio el numero mas grande, en dicho punto (x;y)=(2;2) la función tiene un máximo relativo.

y eso es todo...