Quien en gana me analista en matemáticas quien gana y desarrolla

Siguientes integrales

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2 Respuestas

Respuesta
1

En cuanto a la segunda integral, es necesario conocer primero la derivada de la función arcoseno:

$$\begin{align}&\frac{d}{dx}(arcsin(x))=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\end{align}$$

Y se observa entonces que la integral se puede interpretar como sigue:

$$\begin{align}&\int{\frac{x.dx}{\sqrt{3-(x^2)^2}}}\end{align}$$

Para quitarnos la molesta "x" del denominador, realizamos el cambio de variable x^2=u:

$$\begin{align}&dx=\frac{du}{2x}\end{align}$$

Con lo que la intergal original queda:

$$\begin{align}&\int\frac{du}{\sqrt{3-u^2}}\frac{x}{2x}=\frac{1}{2}\int\frac{du}{\sqrt{3-u^2}}=\frac{1}{2}\frac{1}{9}\int\frac{du}{\sqrt{1-(\frac{u}{\sqrt{3}})^2}}=\frac{1}{18}arcsin(\frac{x^2}{18})+cte\end{align}$$

Con esto queda resuelta la integral.

Lo siento, cometí un error en la respuesta final. Obviamente el denominador del argumento del arcoseno es la raíz cuadrdad de 3, no 18.

Disculpas por el lapsus.

Respuesta
1

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¡Hola Sneider!

Haré la primera, no son ejercicios tan sencillos para ir dos en la misma pregunta.

$$\begin{align}&\int \frac{\sqrt{2+9 \sqrt[3]x}}{\sqrt[3]{x^2}}dx=\\&\\&\text{Yo creo que no nos dejan otro cambio que este}\\&\\&t=2+9x^{1/3}\\&\\&dt=3x^{-\frac 23}dx\implies \frac{1}{\sqrt[3]x^2}dx=\frac 13dt\\&\\&=\frac 13\int \sqrt t\;dt=\frac 13\int t^{\frac 12}dt= \frac 13·\frac{t^{\frac 32}}{\frac 32}+C =\\&\\&\frac 29t^{\frac 32}+C = \frac 29\left(2+9x^{\frac 13}\right)^{\frac 32}+C=\\&\\&\frac 29 \sqrt{\left(2+9 \sqrt[3]x\right)^3}+C\end{align}$$

Y eso es todo, sa lu dos.

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Déjame que haga la otra integral.

$$\begin{align}&6) \int \frac{x}{\sqrt{3-x^4}}dx=\int \frac{x}{\sqrt 3 \sqrt{1-\frac{x^4}{3}}}dx=\\&\\&\text{multiplico y divido por lo mismo, haciendo que quede}\\&\text{dentro de la integral una drrivada exacta}\\&\\&\frac{1}{\sqrt 3}· \frac{\sqrt 3}{2}·\int \frac{\frac {2x}{\sqrt 3}}{\sqrt {1-\left(\frac {x^2}{\sqrt 3}  \right)^2}} dx=\\&\\&\frac 12 arcsen\left(\frac{x^2}{\sqrt 3}  \right)+C=\\&\\&\text{Y para los excesivamente puristas}\\&\\&= \frac 12 arcsen \left(\frac{\sqrt 3\;x^2}{3}  \right)+C\end{align}$$

Esa es la verdadera respuesta.

Sa lu dos.

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