El volumen del solido de revolución generado cuando la región limitada por las gráficas de las ecuaciones y=x^2 y y=4 ,
Gira alrededor del eje y, es:
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2 Respuestas
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¡Hola Juan David!
El volumen lo genera el trozo de crva comprendido entre x=0 y el corte de la recta y=4 de la derecha
4=x^2
x=2
Cuando se gira alrededor del eje y podemos hacer dos cosas, usar el método de los discos sobre la función inversa x = f^-1(y) o usar el método de los cascarones cilíndricos, es este segundo el que usaré ya que el de los discos solo puede tener interés si la integral a realizar es más sencilla.
$$\begin{align}&V=2\pi\int_a^bx f(x) dx\\&\\&V=2\pi\int_0^2x·x^2dx= 2\pi\int_0^2x^3dx=\\&\\&2\pi \frac{x^4}{4}\bigg|_0^2=2\pi·\frac{16}{4}=8\pi\end{align}$$Y eso es todo, saludos.
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¡Ja Ja Ja Ja Ja! No te empeñes Jorge Herrera, no tienes puta idea de matemáticas, dedícate a dar consejos a las embarazadas y otros que se dejen embaucar pensando que sabes algo. Sin quererlo acabas de calcular el volumen de la curva girando alrededor del eje horizontal y=4, que me parece que no es lo que preguntaban. ¿Te das cuenta, no? Cómo puedes llamarte experto si un zagal de 16 años sabe hacer lo que tú no sabes.
La parábola y la recta se cortan aquí:
Para x^2 =4 ... x =2
Partimos de la diferencia de las dos ecuaciones:
y =x^2 -4
Esta ecuación define el radio de las circunferencias que describen cada uno de los puntos de la función al rotar.
La superficie de cada circunferencia:
S =pi (x^2 -4)^2
Y el volumen (las circunferencias las vemos como finísimos discos de grosor 'dx')
dV =pi (x^2 -4)^2 dx
Y la suma de los volúmenes de todos ellos se obtiene con la siguiente integral:
integral pi(x^2 -4)^2 dx =
= pi integral (x^4 +16 -8x^2) dx =
= pi ((1/5) x^5 -(8/3)x^3 +16x +C
.
Pero esta es una integral definida en el intervalo {0, 2} como se vio arriba, la evaluamos en dicho intervalo:
Para 'x=0' la función es cero, quedando:
V =| 2 pi (1/5)*2^5 -(8/3)*2^3 +16*2| =30.77 u^3
.
*** Valor absoluto, por supuesto