Solucion f´(x)=3^2x+1 derivada en un punto x=0
3 elevado a la 2x + 1, el desarrollo detallado para darle la solución ya que se usara la formula del límite cuando h tiende a cero sustituyendo dicha formula donde aparezca (x),
donde x= (x+h)
la formula
lim = f(x+h) - f(x) / h
h-0
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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¡Hola Nayel!
Imagino que lo que quieres es calcular la derivada de esa función por la definición de derivada.
$$\begin{align}&f(x) = 3^{2x+1}\\&\\&f'(x)= \lim_{h\to 0}\frac{3^{2(x+h)+1}-3^{2x+1}}{h}=\\&\\&\lim_{h\to 0}\frac{3^{2x+2h+1}-3^{2x+1}}{h}=\\&\\&\lim_{h\to 0}\frac{3^{2x+1}·3^{2h}-3^{2x+1}}{h}=\\&\\&\lim_{h\to 0}\frac{3^{2x+1}·(3^{2h}-1)}{h}=\\&\\&3^{2x+1}\lim_{h\to 0}\frac{3^{2h}-1}{h}=\\&\\&\text{Hagamos un cambio de variable, llamemos }\\&\\&p=3^{2h}-1\\&\\&3^{2h}=p+1\\&\\&2h·ln3=ln(p+1)\\&\\&h = \frac{ln(p+1)}{2\,ln\,3}\\&\\&\text{Cuando }h\to 0\implies p\to 0\\&\\&=3^{2x+1}\lim_{p\to 0} \frac{p}{ \frac{ln(p+1)}{2\,ln\,3}}=\\&\\&3^{2x+1}\lim_{p\to 0}\frac{p·2\,ln 3}{ln(p+1)}=\\&\\&3^{2x+1}·2\,ln\,3·\lim_{p\to 0}\frac{p}{ln(p+1)}=\\&\\&3^{2x+1}·2\,ln\,3·\lim_{p\to 0}\frac{1}{\frac{ln(p+1)}{p}}=\\&\\&3^{2x+1}·2\,ln\,3·\lim_{p\to 0}\frac{1}{ln\left((p+1)^{\frac 1p}\right)}=\\&\\&3^{2x+1}·2\,ln\,3 ·\frac{1}{ln\left( \lim_{p\to 0} (p+1)^{\frac 1p}\right)}=\\&\\&\lim_{p\to 0}(1+p)^{\frac 1p}\text{ es una de las definiciones de e}\\&\\&3^{2x+1}·2\,ln\,3 ·\frac{1}{ln\,e}= 3^{2x+1}·ln\,3 ·2\\&\\&\\&\end{align}$$Y eso es todo, sa lu dos.
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