Como resolver este problema de geometría de volumen de sólidos
Un cono está circunscrito a una esfera de radio R. Hallar el volumen V del cono como una
Función de la única variable h, la altura del cono, es decir, hallar V = V (h) . Calcule el
Dominio de esta función.
1 Respuesta
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¡Hola Alvaro!
Sea la esfera centrada en el origen y hacemos la proyección de la figura sobre el plano de atrás el xz por ejemplo.
La esfera se proyectará en un círculo cuya circunferencia es x^2 + z^2= R^2
Y el cono se proyecta en un triángulo con el vértice arriba y como base tendrá una cuerda horizontal de la circunferencia.
Si la altura h es menor que R la cuerda corta a la semicircunferencia superior en
x^2 + (R-h)^2 = R^2
x^2 + R^2 - 2Rh + h^2 = R^2
x^2 = 2Rh - h^2
x= raiz(2Rh -h^2)
eso sería el radio de la base del cono.
Luego el volumen será
V(h) = (1/3)pi(2Rh - h^2)h
V(h) = (1/3)pi·h^2·(2R-h)
Si la altura es mayor que R pero menor que 2R la cuerda corta a la semicircunferencia inferior
x^2 + (h-R)^2 = R^2
la ecuación es la misma que antes, luego en cualquier caso tenemos
V(h) = (1/3)pi·h^2·(2R-h)
Y el dominio de definición es
0 <= h <= 2R
Y eso es todo, sa lu dos.
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