Anónimo
Problema de geometría hallar área y volumen de la esfera
En una pirámide regular cuadrangular, con lado a y ángulo entre la cara lateral y la base
igual a α, se ha inscrito una esfera. Muestre que el área y el volumen de la esfera, como
función del ángulo α, son, respectivamente:
V=(pi*a^3)/6*tan^3*(α/2)
A=pi*a^2*tan^2*(α/2)
Sugerencia: Note que m∠CAO = (α/2)
2 Respuestas
Haces referencia a unos puntos, si no pones el dibujo no puedo saber a lo que se refieren. Mira a ver si puedes obtener un fichero de la imagen, por ejemplo con el programa "Recortes de Windows" u otro capturador de pantalla que tengas y pones la imagen aquí con el icono de "Añadir Imagen que lo tienes a la izquierda del todo, el de un paisaje de montaña.
Sa lu dos.
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Es cierto, el ángulo CAO es α/2 ya que AO es la bisectriz del ángulo α, dadas las dos tangentes a una circunferencia la bisectriz pasa por el centro de ella.
Entonces la altura del centro de la esfera CO entre el cateto horizontal AC será la tangente de α/2. Ese cateto mide AC = a/2
h/(a/2) = tg(α/2)
h = (a/2)·tg(α/2)
Esa altura es el radio de la esfera y ya solo falta aplicar las fórmulas de superficie y volumen de la esfera.
$$\begin{align}&A= 4·\pi·R^2 = 4·\pi·\frac{a^2}{4}tg^2 \frac \alpha 2=\pi a^2 tg^2 \frac \alpha 2\\&\\&V= \frac 43 \pi R^3=\frac 43\pi·\frac{a^3}{8}·tg^3 \frac{\alpha}{2}=\frac{\pi a^3}{6}tg^3 \frac{\alpha}{2}\end{align}$$Y eso es todo, sa lu dos.
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¡Gracias!
En realidad en este problema lo que necesito es el área y volumen de la pirámide
Pero el problema pide área y volumen de la esfera, y las respuestas que das son las de la esfera. Para calcular esas medidas de la pirámide no se necesita que tenga dentro una esfera ni que nos digan que ese ángulo es la mitad.
Esa es la imagen
Tienes toda la razón, gracias