¿Demostrar que las funciones son diferenciales?

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¡Hola Antonio Breña!

1)

Habría saber que te dejan utilizar. Si solo puedes usar la definición de función diferenciable o te dejar usar el teorema de que es diferenciable si existen las derivadas parciales y son continuas.

En todo caso las dos primeras son dos planos, luego existe un plano tal que el límite de la función menos el plano tiende a 0 en cualquier punto, ya que la diferencia es exactamente 0 y por lo tanto son diferenciables.

Y para la tercera si lo hacemos por el teorema de las derivadas parciales las calculas que es fácil y existen y compruebas que son continuas porque dada la restricción x^2+y^2 < 1 nunca se anula el denominador, por lo tanto la función es diferenciable en todo U.

2)

Tendrás que comprobar que la derivada es la misma si compones las funciones y haces la derivada que si usas la regla de la cadena para calcularla.

$$\begin{align}&h(x,y)=f(u(x,y),v(x,y)) = \frac{e^{-2x-2y}+e^{2xy}}{e^{-2x-2y}-e^{2xy}}\\&\\&\frac{\partial h}{\partial x}= \frac{(-2e^{-2x-2y}+2ye^{2xy})(e^{-2x-2y}-e^{2xy})-(e^{-2x-2y}+e^{2xy})(-2e^{-2x-2y}-2ye^{2xy})}{(e^{-2x-2y}-e^{2xy})^2}=\\&\\&\frac{-2e^{-4x-4y}+2e^{-2x-2y+2xy}+2ye^{2xy-2x-2y}-2ye^{4xy}+2e^{-4x-4y}+2ye^{-2x-2y+2xy}+2e^{-2x-2y+2xy}+2ye^{4xy}}{(e^{-2x-2y}-e^{2xy})^2}=\\&\\&\frac{(4+4y)e^{-2x-2y+2xy}}{(e^{-2x-2y}-e^{2xy})^2}\\&\\&\text{Y por la regla de la cadena sería}\\&\\&\frac{\partial h}{\partial x}= \frac{\partial f}{\partial u}·\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial v}·\frac{\partial v}{\partial x}= \\&\\&\frac{2u(u^2-v^2)-(u^2+v^2)2u}{(u^2-v^2)^2}·(-e^{-x-y})+\frac{2v(u^2-v^2)+(u^2+v^2)2v}{(u^2-v^2)^2}·ye^{xy}=\\&\\&\frac{4uv^2 e^{-x-y}+4vu^2·ye^{xy}}{(e^{-2x-2y}-e^{2xy})^2}=\\&\\&\frac{4e^{-x-y+2xy-x-y}+4ye^{xy-2x-2y+xy}}{(e^{-2x-2y}-e^{2xy})^2}=\\&\\&\frac{(4+4y)e^{-2x-2y+2xy}}{(e^{-2x-2y}-e^{2xy})^2}\end{align}$$

Luego la derivada es la misma y queda comprobada la regla de la cadena.

Sa lu dos.

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