El problema de la recta tangente, ejercicio

Daniella aquí hay dos questiones:

Cuestión A: Calcular la tangente a una curva en un punto.

Recuerda que tangente implica derivada, luego sólo tienes que calcular la derivada de la función dada f(x) = - x^2 + 9 --> f'(x) = -2x y luega para saber la pendiente de dicha tangente en el punto x=2, sustituir dicho valor de x en la ecuación de la derivada ---> -2(2) = -4

Te adjunto solución gráfica para visualizarlo:

Cuestión B: Calcula la pendiente de la secante que pasa por los dos puntos de la curva correspondiente a los valores de x=2 y x=2.5

Sustituyendo estos dos valores de "x" en la ecuación de la curva tendrás los valores de las coordenadas "y", por tanto ya tienes los dos puntos P1 (2, 5) y P2 (2.50, 2.75) que definen la recta secante que buscabas.

Seguro que recuerdas cómo se calcula la ecuación de la recta que pasa por dos puntos conocidos, si pones esa ecuación en su forma explícita, es decir despejando "y" (y=mx+b), entonces el coeficiente "m" te da la pendiente de la "dichosa" recta secante. m=-4.5

Te adjunto solución gráfica para visualizarlo mejor:

(

En la cuestión A, el valor de por que se sustituye en la ecuación puede ser tanto 2 como 2.5, ¿cierto?

La recta azul es la tangente y la recta amarilla es la derivada?? 

A ver Daniella, la función f'(x) = -2x que es la derivada de la curva original f(x) representa todos los valores de las pendientes de las tangentes en cualquier punto (x). Así pues, para saber la pendiente de la tangente a la curva original en el punto x=2 es -4 (ver el primer gráfico adjunto)

La tangente a la curva verde en el punto es una recta pintada de color azul cuya ecuación es la indicada y=-4x+13 con pendiente o gradiente igual a -4 que como puedes comprobar coincide con el coeficiente de la x.

Pero la pendiente en el punto x=2.5 es otra, podrás intuir que la tangente a la curva tiene otra pendiente pues tiene otra inclinación en este caso será = -2(2,5) = -5

Del mismo modo, la pendiente de la tangente en x=3 saldría -6.

Te adjunto otra imagen en la cual aparece la tangente a la curva en otro punto, en este caso x=-1 y en es caso la tangente (recta en color rojo) tienen una pendiente positiva = 1.

Puedes comprobar que la función f'(X) = -2x (de color ocre) recoge todos los valores de las pendientes.

Te adjunto un nuevo gráfico para que visualices esto.

(No olvides valorar la respuesta)

Gracias. Enrique

;)
Hola Daniella!

¿Ya has dado las derivadas?

¿O has de utilizar el límite de f(a + h) - f(a)/h?

Espero aclaraciones

Recuerda cambiar el voto alli

Saludos

;)

;)

No he visto derivadas aún, debo hacerlo con el límite de f(a + h) - f(a)/h

;)
Todavía no cambiaste tu voto, allí

;)

;) 

La pendiente de una recta secante se calcula como

$$\begin{align}&m=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\\&\\&\end{align}$$

que también se puede escribir como

$$\begin{align}&llamando \\&x_1=a\\&y \ a \\&x_2-x_1=h\\&\\&m=\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\end{align}$$

esta segunda forma es la que utilizarás para calcular pendiente de rectas tangentes, que es lo que se conoce como la derivada de la función en un punto, y que ni más ni menos que el límite:

$$\begin{align}&\lim_{h \to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\end{align}$$

este límite calcula la pendiente de la recta tangente en x=a.

Pero tu lo que quieres es la pendiente de una secante (corta a la función en dos puntos), y en este caso es mejor utilizar la primera expresión:

$$\begin{align}&m=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=\frac{f(2.5)-f(2)}{2.5-2}=\\&\\&f(2.5)=-2.5^2+9=2.75\\&\\&f(2)=-2^2+9=5\\&\\&=\frac{2.75-5}{0.5}=-4.5\end{align}$$

saludos

;)

;)