¿Cómo se hallan los extremos absolutos de una función en un intervalo dado?
f(x) = x^3 - 17x + 150 ; [-3,4]
¿Es por el teorema de Rolle? Que pasa si f(¿a) no es igual a f(b)? (Como en este caso)
1 respuesta
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¡Hola Daniella!
El Teorema de Rolle diría que habrá un mínimo relativo o máximo relativo bajo ciertas condiciones, pero aunque no se den esas condiciones puede haber máximos relativos o mínimos relativos.
El teorema que debes usar aquí es este:
Si una función f(x) es continua en [a,b] y derivable en (a,b) entonces los extremos absolutos de f en [a,b] se dan en los puntos críticos de f en [a,b] o en a o b.
f(x) = x^3 - 17x + 150 ; [-3,4]
es continua en [-3, 4] y derivable en (-3, 4)
derivamos e igualamos a 0
$$\begin{align}&f'(x) = 3x^2 -17=0\\&\\&3x^2 = 17\\&\\&x= \pm \sqrt{\frac {17}3}\\&\\&f''(x)=6x\\&\\&f''\left( \sqrt{\frac {17}3}\right)\gt0\implies \text{mínimo relativo}\\&\\&f''\left( -\sqrt{\frac {17}3}\right)\lt0\implies \text{máximo relativo}\\&\\&\text{Calculamos los valores de la función los puntos críticos}\\&\text{y los extremos del dominio}\\&\\&f\left(\sqrt {\frac{17}3} \right)\approx f(2.380476143)\approx 123.0212704\\&\\&f\left(-\sqrt {\frac{17}3} \right)\approx f(-2.380476143)\approx 176.9787296\\&\\&f(-3) = 174\\&\\&f(4) = 146\\&\\&\text{Luego el máximo absoluto es en }x=-\sqrt {\frac{17}3}\\&\\&\text{Y el mínimo absoluto en }x=\sqrt {\frac{17}3}\\&\end{align}$$Esta vez los máximos y mínimos absolutos han coincidido con los relativos pero otras veces puede no ser así.
Y eso es todo, saludos.
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