Supongamos que el costo de la producción en pesos de x toneladas de jitomate está dada por la siguiente función: c (x) = 5x2 + 3
Es decir, para producir 1,150 toneladas de jitomate se necesitan c (1,150) = 5 (1,150)2 + 3(1,150) = 6,615,950 (seis millones seiscientos quince mil novecientos cincuenta pesos).
Si queremos saber cuánto se deberá pagar si se incrementa la producción a 20 toneladas más, hay que derivar la ecuación de la producción total y así obtener el costo del incremento de la producción. Para ello, se puede realizar el siguiente proceso:
Se deriva la función del costo de producción
c(x)= 5x2+3x
Para derivarla se utiliza la siguiente fórmula, que es para realizar una derivada de un polinomio:
El resultado o la derivada de la función de producción total es:
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2. A partir de lo anterior, responde:
• ¿Cuánto deberá pagarse por aumentar a 20 toneladas la producción, es decir, por producir 1,150 toneladas de jitomate?
• En esta situación ¿para qué se aplicó la derivada de la función de producción total?
2 Respuestas
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¡Hombre, el problema del jitomate ataca de nuevo! Voy a ver si han cambiado el enunciado que es algo que hacen muy frecuentemente. Sí, lo han cambiado.
El enunciado no debe estar correcto, si hablan de 1150 toneladas y preguntan por producir 20 más se referirán a 1170 y no 1150 como ponen ahí.
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Para saber el incremento de precio no hay nada como calcular el precio nuevo y restarle el viejo. Pero sí que es verdad que la derivada se usa para obtener el incremento de precio aproximado. La fórmula es:
$$\begin{align}&c(x_2)-c(x_1)\approx c'(x_1)(x_2-x_1)\\&\\&\text{Entonces si}\\&c(x) =5x^2+3x\implies \\&c'(x)=10x+3\\&\\&x_1=1150\implies \\&c'(x_1)=10·1150+3=11503\\&\\&x_2-x_1=20\\&\\&c(x_2)-c(x_1)\approx 11503·20=23060\end{align}$$Eso es lo que hay que pagar más que antes.
Se aplica la derivada porque la derivada es lo que hay pagar por cada tonelada más se produce cuando se han producido 1150 toneladas. Entonces se se producen 20 toneladas más el incremento de coste es 20 veces la derivada.
Como ya te decía arriba este cálculo es aproximado, no es el exacto.
Y eso es todo, sa lu dos.
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Una vez que tenemos la derivada entonces calculamos
$$\begin{align}&c'(1170)&=&10(1170)+3\\\\&&=&11700+3\\\\&&=&11703\end{align}$$El cual será el costo en aumentar 20 tons de producción.
La derivada nos sirvió para encontrar el cambio de producción con respecto al precio de dicha producción, esto no da la proporcionalidad en la que cambiará dicha producción.