¿Cómo hallar las soluciones de una ecuación cubica rápidamente?
En un examen de admisión en el que tengo apenas 1 minuto por pregunta, ¿cómo factorizo una ecuación cubica rápidamente? Bueno es que hay ecuaciones cubicas que no se pueden factorizar por agrupación de términos y toca por división sintética, pero por división sintética uno se demora más de 1 minuto, ¿hay otro método? ¿Por ejemplo con derivadas?...
2 Respuestas
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No hay nada que sirva para hacer una ecuación cúbica en menos de un minuto, salvo que sea muy fácil. Si no tiene el término libre puedes sacar factor común x y se reduce a una de grado 2 o menos.
Si ves que es un cubo perfecto
a^3 + 3 a^2·b + 3 a·b^2 + b^3 =(a+b)^3
a^3 - 3 a^2·b + 3 a·b^2 - b^3 = (a-b)^3
Este es otro caso
a^3 - b^3 = (a-b) ·(a^2 + ab + b^2
y este otro
a^3+b^3 = (a+b) (a^2 - ab + b^2)
Y si no se da nada de esto a probar con los números 1,-1,2,-2, etc a ver si sale y cuando sale uno divides por Ruffini y te queda de grado 2.
Y eso es todo, saludos.
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Muchas gracias profesor.
Por cierto, se me olvidó poner lo que dice Gustavo que es bastante importante. Si el problema lo han hecho para que se pueda resolver tendrá alguna solución entera por lo menos y entonces hay que probar con los divisores del término independiente, tanto los positivos como los negativos.
Habría un nivel de complicación mayor que no creo que os pongan que es que hubiera soluciones fraccionarias, eso se daría cuando el coeficiente de x^3 fuera distinto de 1, entonces si es:
ax^3 + bx^2 + cx + d = 0
las soluciones racionales posibles son de la forma
x = m / n
donde m divide a d y n divide a a.
Saludos.
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Candy, hay un método (aunque igualmente no creo que lo puedas resolver en menos de un minuto) y consiste en que si tienes el polinomio escrito así:
P(x) = a_0 x^3 + a_1 x^2 + a_2 x + a_3
Siempre que a_0 sea 1, entonces las posibles raíces del polinomio las buscas entre los divisores (positivos y negativos) del término independiente (en caso que a_0 no sea 1, lo primero que debés hacer es dividir todo el polinomio por a_0 para que quede 1)
Ej/
P(x) = x^3 - 4 x2 + x + 6
El coeficiente principal ya es 1, así que las posibles raíces hay que buscarlas en {-1; 1; -2; 2; -3; 3; -6; 6}
Si hacés los cálculos vas a ver que las raíces son: -1; 2 y 3
Salu2