Sistema péndulo resorte, Movimiento armónico simple

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¡Hola Jaime!

No funciona el editor de ecuaciones, así que usaré letras del teclado donde siempre se usan griegas.

Sea a el ángulo que se forma, es una función del tiempo a(t). Recuerda que a será como theta.

Cuando el ángulo sea hacia la izquierda lo consideraremos negativo y hacia la derecha positivo

Las fuerzas que actúan sobre el péndulo son la gravedad y el resorte.

La de la gravedad es -mg · j

La del resorte -kx · i

Donde i, j son los vectores unitarios del eje X y el eje Y

Dado un ángulo a las fuerzas descompuestas en el eje de la varilla son

-Mg·cosa - kx·sena

Y en el eje perpendicular

-Mg·sena -kx·cosa

Las fuerzas de este eje tangencial por la distancia L son el momento angular del péndulo respecto del punto de giro por la aceleración tangencial

(-mg·sena - kx·cosa)L = Io · a''

Para oscilaciones pequeñas se toma sena = a

(-mga - kx·cosa)L = Io · a''

x será h·sen a

(-mga - k·cosa·sena·h)L = Io·a''

(-mga - k·(1/2)sen(2a)h)L = Io·a''

Si a deciamos que era pequeño también lo será 2a y aplicamos

sen(2a) = 2a  luego (1/2)sen(2a) = a

(-mga - kah)L= Io·a''

Io·a'' + (mg+kh)La = 0

Es una ecuación diferencial lineal cuya solución es

a(t) = A·cos(raíz[(mg+kh)/Io]·t) + Bsen(raíz[(mg+kh)/Io]·t)

El momento de inercia es

Io= mL^2

a(t) = A·cos(raíz[(mg+kh)/(mL^2)]·t) + Bsen(raíz[(mg+kh)/(mL^2)]·t)

Para el tiempo 0 el ángulo sera a0

a(0) = A·1+B·0

a(t) = a0·cos(raíz[(mg+kh)/(mL^2)]·t) + Bsen(raíz[(mg+kh)/(mL^2)]·t)

Para el tiempo 0 la velocidad angular es 0

a'(t) = -a0·raiz[(mg+kh)/(mL^2)]·sen(raíz[(mg+kh)/(mL^2)]·t) +

             B·raiz[(mg+kh)/(mL^2)]·cos(raíz[(mg+kh)/(mL^2)]·t)

a'(0) = a0 · raiz[(mg+kh)/(mL^2)] · 0+ B · raiz[(mg+kh)/(mL^2)]·1

a'(0) = B · raiz[(mg+kh)/(mL^2)] = 0

luego B = 0

Y la función del angulo es:

a(t) = a0·cos(raíz[(mg+kh)/(mL^2)]·t)

La velocidad angular es;

w = raíz[(mg+kh)/(mL^2)]

Y la frecuencia es

f= w / (2pi)

f = raíz[(mg+kh)/(mL^2)] / (2pi)

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