¿Cómo respondo este ejercicio de continuidad y discontinuidad?

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¡Hola Lola!

1)

Tenemos que la función g(x) = f(x)-6 cumple

g(1) = f(1) - 6 = 6 - 6 = 0

g(4) = f(4) - 6 = 6 - 6 = 0

Y no hay ningún otro valor de g que valga 0. Como g (es suma de funciones continuas) si hubiera un valor positivo de g en (1, 4) y otro negativo por el teorema de Bolzano habría un punto c en (1, 4) tal que g(c) = 0

g(c) = f(c) - 6 = 0

f(c) = 6

absurdo pues solo tiene raíces en 1 y 4.

Luego toda la función es positiva o toda negativa en (1, 4)

Como f(2)= 8 toda la función es positiva, por lo tanto

g(x) > 0 en (1,4)

f(x) - 6 > 0 en (1,4)

f(x) > 6 en (1, 4)

f(3) > 6

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Y eso es todo, debes mandar los ejercicios de uno en uno.

Saludos.

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Te dejo el 2)

a) F(x) = |x|

Esta función también la podemos escribir como

F(x) = x ..... si x >= 0
F(x) = -x..... si x < 0

Claramente cada tramo de la función es continua por ser un polinomio, lo único que queda es ver si en el punto de corte la función es continua, y claramente lo es, ya que el límite por izquierda y por derecha, coinciden con la función y en todos los casos valen 0

b) Si la función es continua sobre un intervalo, quiere decir que para todo punto dentro del intervalo existe un entorno, tal que el limite a izquierda y derecha, coincida con la función, pero tomando módulo va a seguir coincidiendo

c) La recíproca del punto anterior no es cierto y te dejo un ejemplo muy sencillo

F(x) = 1..........si x >=0

F(x) = -1.........si x < 0

Claramente esta función no es continua en x=0, pero sin embargo al tomar módulo de la función, entonces la misma siempre vale 1 y la función sí es continua

Salu2