Cual de las siguientes son transformaciones lineales de R^2 en R^3 y Porque

;)
Hola Andreina!

Una transformación es lineal si verifica que

1) f(u+v)=f(u)+f(v)

2) f(k u)=k f(u)

u=(x,y)

v=(a,b)

A)

1)

F(u+v)=F(x+a,y+b)=(0,0,0)

F(u)+F(v)=F(x,y)+F(a,b)=(0,0,0)+(0,0,0)=(0,0,0)

cumple

2)F(ku)=F(kx,ky)=(0.0,0)

kF(u)=kF(x,y)=k(0,0,0)= (0,0,0)

Si cumple. Si es  una transformación Lineal

B)

1)

F(u+v)=F(x+a,y+b)=(x+a,y+b)

F(u)+F(v)=(x,y)+(a,b)=(x+a,y+b)      iguales, si cumple

2)

F(ku)=F(kx,ky)=(kx,ky)

kF(u)=k(x,y)=(kx,ky)     Si

Si es  una T.Lineal

C)F(x,y)=(1,0,2)

F(u+v)=F(x+a,y+b)=(1,0,2)

F(u)+F(v)=(1,0,2)+(1,0,2)=(2,0,4)   

diferentes, No cumple ,luego no es una T.L.

F(ku)=F(kx,ky)=(1,0,2)

kF(u)=k(x,y)=k(1,0,2)=(k,0,2k)

La segunda condición tampoco la cumple

Saludos

;)

;)

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¡Hola Andreina!

Serán lineales las que cumplan el patrán

F(x,y) = (ax+by, cx+dy, ex+fy)

Donde alguno o todos los coeficientes a, b, c, d, e, f pueden ser 0 con lo cual pueden omitirse algunos términos.

Vemos que A cumple el patrón cuando los seis coeficientes son 0, luego es lineal. B no es una función de R^2 en R^3, así que o ha habido un fallo de escritura o nos la han puesto para confundirnos. Si la consideramos como función de R^2 en R^2 sí que sería lineal. Y C no cumple el patrón, números sueltos distintos de 0 no sirven.

Esta que he hecho es la forma rápida de contestar, pero no sé si le servirá a tu profe, así que vamos a demostrar que A cumple las dos condiciones de linealidad, que B tomada como de R^2 en R^2 también cumple y que C no cumple alguna, en realidad no cumple ninguna.

Las dos condiciones de linealidad son las famosas

1)   f(a+b) = f(a) + f(b)   para todo a, b de V

2) f(ka) = k·f(a)  para todo a de V y k de K (el cuerpo)

En este caso son

V = R^2

K = R

·

A)  F(x,y) = (0,0,0)

F[(x,y)+(x',y')] = F[(x+x', y+y')] = (0,0,0)

F(x,y) + F(x',y') = (0,0,0) + (0,0,0) = (0,0,0)

·

F[k(x,y,z)] = F(kx,ky,kz) = (0,0,0)

k·F(x,y,z) = k·(0,0,0) = (0,0,0)

Luego es lineal.

·

B) F(x,y) = (x,y)

F[(x,y)+(x',y')] F(x+x', y+y') = (x+x', y+y')

F(x,y) + F(x',y') = (x,y) + (x',y') = (x+x', y+y')

·

F[k(x,y)] = F(kx,ky) = (kx, ky)

k·F(x,y) = k(x,y) = (kx, ky)

luego es lineal.

·

C) F(x,y)= (1,0,2)

F[(x,y)+(x',y')] = F(x+x', y+y') = (1,0,2)

F(x,y) + F(x',y') = (1,0,2) + (1,0,2) = (2,0,4)

Esta no la cumple, ya es suficiente para decir que no es lineal.

Luego en resumen, son lineales A y B

Y eso es todo, sa lu dos.

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