Calcular una suma de fracciones con factoriales
Calcular:
$$\begin{align}&\frac{1}{2!}+\frac{2}{3!}+\frac{3}{4!}+······+\frac{99}{100!}\\&\\&\\&solución:\\&\\&1-\frac{1}{100!}\end{align}$$¿como puedo llegar a la solución?!
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¡Hola Lucas!
Muy complicado si queremos calcular la suma poniendo denominador común, veamos si se puede demostrar por inducción que
$$\begin{align}&\sum_{i=1}^n \frac{i}{(i+1)!}= 1 - \frac{1}{(n+1)!}\\&\\&\text{Para n=1 se cumple}\\&\\&\frac 12= 1 - \frac 1{2!}\\&\\&\text{Suponemos se cumple para n y veamos para n+1}\\&\\&\sum_{i=1}^{n+1} \frac{i}{(i+1)!} = 1 - \frac{1}{(n+1)!}+\frac{n+1}{(n+2)!}=\\&\\&1+ \frac{(-n-2)+n+1}{(n+2)!}= 1 -\frac{1}{(n+2)!}\\&\\&\text{Luego se cumple para n+1}\end{align}$$Luego la fórmula es cierta y tomando n=99 tenemos la que nos piden demostrar.
Y eso es todo, sa lu dos.
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;)
¡Gracias!
El problema es que inicialmente no tenemos la solución!!
Saludos
;)
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Pues si quieres probar con la expresión de la suma de los 99 es imposible, yo intenté y no salía nada. Así que hay que ir sumándolos de uno en uno hasta que se deduce la fórmula y luego se prueba por inducción.
1/2
1/2 + 1/3 = 5/6
5/6 + 1/8 = 23/24
23/24 + 1/30 = 119/120
Ya se puede conjeturar que la solución es
[(n+1)! - 1] / (n+1)! = 1 - 1/(n+1)!
Y entonces se demuestra tal como lo hice antes.
1 respuesta más de otro experto
Lucas, ¿probaste por inducción? Porque creo que de esa forma se puede demostrar, claro que una cosa es demostrarlo y otra es llegar al resultado simplemente 'operando algebraicamente' :-)
$$\begin{align}&\sum_{i=1}^n \frac{i}{(i+1)!} = 1 - \frac{1}{(n+1)!}\\&\text{Caso base } i=1 \ Vale!\\&P(n) \to^? P(n+1)\\&P(n+1) \to \sum_{i=1}^{n+1} \frac{i}{(i+1)!} =^? 1 - \frac{1}{(n+2)!}\\&\sum_{i=1}^{n+1} \frac{i}{(i+1)!}= \sum_{i=1}^{n} \frac{i}{(i+1)!} + \frac{n+1}{(n+2)!}=\\&1 - \frac{1}{(n+1)!} + \frac{n+1}{(n+2)!} = \frac{(n+2)! - (n+2) + (n+1)}{(n+2)!}=\\&\frac{(n+2)! - n-2 + n+1}{(n+2)!}=\frac{(n+2)! -1 }{(n+2)!}=1-\frac{1 }{(n+2)!}\end{align}$$Efectivamente queda demostrado, aunque como te decía antes, una cosa es demostrarlo y otra llegar al resultado haciendo operaciones ;-)