Solución ecuación diferencial con funciones trigonométricas sen3xdx + 2ycos^3(3x)dy=0 por separación de variables

$$\begin{align}&\sin(3x)dx+2ycos^3(3x)dy=0\\&\\&\sin(3x)dx=-2ycos^3(3x)dy\\&\\&\frac{sen(3x)}{\cos^3(3x)}dx=-2ydy\\&\\&\int \frac{sen(3x)}{\cos^3(3x)}dx=\int-2ydy\\&\\&\int \frac{sen(3x)}{\cos^3(3x)}dx=\int t^{-3}\frac {-dt}{3}=- \frac{t^{-2}}{-2·3}=\frac{1}{6t^2}=\frac{1}{6 \cos^2(3x)}=\frac{1}{6} sec^2(3x)\\&\\&\cos(3x)=t\\&-sen(3x)·3dx=dt \Rightarrow sen(3x)dx=\frac{-dt}{3}\\&\\&\frac{1}{6} sec^2(3x)=-y^2+C\\&\\&y^2=-\frac{1}{6} sec^2(3x)+C\\&\\&\end{align}$$

;)

Hola Yuri!!

$$\begin{align}&\sin(3x)dx+2ycos^3(3x)dy=0\\&\\&\sin(3x)dx=-2ycos^3(3x)dy\\&\\&\frac{sen(3x)}{\cos^3(3x)}dx=-2ydy\\&\\&\int \frac{sen(3x)}{\cos^3(3x)}dx=\int-2ydy\\&\\&\int \frac{sen(3x)}{\cos^3(3x)}dx=\int t^{-3}\frac {-dt}{3}=- \frac{t^{-2}}{-2·3}=\frac{1}{6t^2}=\frac{1}{6 \cos^2(3x)}=\frac{1}{6} sec^2(3x)\\&\\&\cos(3x)=t\\&-sen(3x)·3dx=dt \Rightarrow sen(3x)dx=\frac{-dt}{3}\\&\\&\frac{1}{6} sec^2(3x)=-y^2+C\\&\\&y^2=-\frac{1}{6} sec^2(3x)+C\\&\\&\end{align}$$

pues está bien el libro

Saludos

Y recuerda votar

;)

;)

y que tal si lo resolvieras la parte de la integral:

$$\begin{align}&-sen3x/\cos^33xdx\end{align}$$

como:

integral 

$$\begin{align}&(-sen3x/cos3x)(1/\cos^23x)dx = (-tan3x)(sec^23x)dx\end{align}$$

ahi es donde me da algo diferente, si hago t=tan3x y luego procedo ha hacer el cambio de variable, y a mi parecer no esta al tampoco ya que sigo el procedimiento, o estoy mal?

;)
También estaría totalmente correcto, recuerda que según el método la constante de integración puede ser diferente, pero las funciones que solo se diferencian en una constante, pertenecen a la antiderivada de la misma función.

Luego en tu caso

$$\begin{align}&y^2=-\frac 1 6 tan^2(3x)+C=\frac{-tan^2(3x)+6C}{6}\\&\\&Tomemos \ inicialmente \ C=- \frac 1 6\\&\\&luego \ le\  puedo \ sumar \ otra \ constante \\&C+C'=K\\&\\&y^2=\frac{- tan^2(3x)+6 \frac {-1}{6}}{6}= \frac 1 6 \Big(- tan^2(3x)-1\Big)=- \frac 1 6  \Big(tan^2(3x)+1 \Big)=\\&\\&- \frac 1 6 \Big( \frac{sen^2(3x)}{\cos^2(3x)}+1 \Big)= - \frac 1 6 \frac{ sen^2(3x)+\cos^2(3x)}{\cos^283x)}=\\&\\&- \frac 1 6 · \frac 1 {\cos^2(3x)}=- \frac{sec^2(3x)}{6}+K\end{align}$$

Espero que te sirva

Saludos

;)

;)

Hola Lucas, me parecen muy bien tus respuestas pero tengo solo una ultima duda, que tal si a mi respuesta la convierto de esta forma:

$$\begin{align}&-1/6 tan^2 3x + c\end{align}$$

luego

$$\begin{align}&tan^2 3x = sec^2 3x -1 (pitagoricas)\end{align}$$

luego esto me daria:

$$\begin{align}&-1/6 (sec^2 3x -1) + c\end{align}$$

$$\begin{align}&-1/6 sec^23x + 1/6 + c\end{align}$$

luego 

k= 1/6 + c

finalmente:

$$\begin{align}&-1/6 sec^2 3x + k\end{align}$$

Esta correcta esta solución, que mediante identidades trigonométricas llegue a la respuesta del libro, pero entonces mi solución de "-1/6 tan^2 3x + c" seria otra forma de representar la respuesta de libro, es correcta mi conclusion?.