Como hallar volúmenes de sólidos de revolución.
Como desarrollar éste ejercicio por favor. Por medio de las integrales...
1 Respuesta
Esto se hace con integrales dobles o integrales triples
$$\begin{align}&dm=\rho dV\\&\int dm=\int \rho (x) dV\\&\int_0^M dm=\int_z \int_y \int_x Rx^2 dxdydz\end{align}$$Básicamente, esto es lo que tenemos, el dato de 7200 nos dará el valor de R sustituyendo en x 60 cm. Para resolver la integral triple, nos damos cuenta que el dz y el dy no intervienen en la integral y la densidad es constante para cualquier diferencial de estos dos, por lo tanto dy dz serán la superfície de la base de la varilla que le llamaremos S
$$\begin{align}&R=\frac{\rho (60)}{60^2} =\frac{7200g/cm}{60^2cm^2}=2g/cm^3\\&\\&M=SR\int_0^{60} x^2 dx\\&M=SR[\frac{x^3}{3}]_0^{60}\\&M=2S\frac{60^3}{3}=144.000S{ }gramos\end{align}$$Y este es el resultado final de tu problema donde S es la superfície de la base de la varialla en centímetros cuadrados. Para encontrar el centro de masas se usa la integral
Puesto que en el numerador tenemos algo parecido a lo anterior nos ahorraremos la integral triple y directamente pondremos la superfície. Esta vez, tenemos la integral de x elevado a 3, que tampoco es muy complicado.
Sustituyendo la M por la masa encontrada anteriormente y resolviendo la integral, nos da que el centro de masas está a
La integral que se usa para encontrar el centro de masas es
$$\begin{align}&X_{cdg}=\frac{\int x\rho(x) dV}{M}\end{align}$$Y se resuelve de la siguiente forma
$$\begin{align}&X_{cdg}=\frac{\int x\rho(x) dV}{M}\\&X_{cdg}=2S\frac{\int_0^{60} x^3 dx}{144000S}\\&X_{cdg}=\frac{[\frac{x^4}{4}]_0^{60}}{72000}=\frac{3240000}{72000}=45cm\end{align}$$Donde nos queda que el centro de masas está a 45 cm de la base que no tiene densidad, o la contraria a la que tiene mayor densidad.
*En la primera parte, ocurrió un error y faltaban estas dos ecuaciones, aquí se ve el final del problema.
