¿Cómo puedo demostrar que x/tgx es menor a 1?

Hasta donde entiendo, esto, en el intervalo que te interesa, sólo es válido en (0; π/2]; en la otra parte del intervalo es a la inversa.

x/tanx < 1;  x < tanx

Si dibujas la circunferencia trigonométrica, la tangente equivale al valor de la ordenada, tomado sobre la tangente a 0° (perpendicular al eje x), en su encuentro con la prolongación del radio vector POR FUERA de la circunferencia (es así por lo que tan (π/2) es infinita).

x corresponde al arco de circunferencia cortado por el mismo radio vector, por lo que x será menor que tan x en el primer cuadrante.  En el cuarto cuadrante, al ser negativos tanto la tangente como x, tan x es "más negativo" que x, por lo tanto, menor.  Sí es correcto que:   |x| < |tan x|.   En x=0; Tanx=0.

Puedes ver gráficamente lo anterior en:

https://www.youtube.com/watch?v=BklouVdnRM0

Existe una manera de tomar "casi" que: x/tanx <1 en el intervalo (-π/2; π/2) es válido, pero también se debe dejar aclarado que es válido sólo para:

(-π/2; 0) U (0; π/2); ya que x/tanx no se encuentra definido en x=0 por quedar una indefinición 0/0.  Sí tiene límite pero no está definida en el punto x=0.

Si tenemos en cuenta que para (0; π/2) tanto x como tan x son positivos el resultado será <1;

En (-π/2; 0) tanto x como tan x son negativos, por lo que también será válido que su cociente es menor que 1.

En definitiva, queda demostrado que:

x/tanx < 1 para:  (-π/2; 0) U (0; π/2);  dado que no está definida en x=0.