Hasta donde entiendo, esto, en el intervalo que te interesa, sólo es válido en (0; π/2]; en la otra parte del intervalo es a la inversa.
x/tanx < 1; x < tanx
Si dibujas la circunferencia trigonométrica, la tangente equivale al valor de la ordenada, tomado sobre la tangente a 0° (perpendicular al eje x), en su encuentro con la prolongación del radio vector POR FUERA de la circunferencia (es así por lo que tan (π/2) es infinita).
x corresponde al arco de circunferencia cortado por el mismo radio vector, por lo que x será menor que tan x en el primer cuadrante. En el cuarto cuadrante, al ser negativos tanto la tangente como x, tan x es "más negativo" que x, por lo tanto, menor. Sí es correcto que: |x| < |tan x|. En x=0; Tanx=0.
Puedes ver gráficamente lo anterior en:
https://www.youtube.com/watch?v=BklouVdnRM0