Problema ecuación diferencial no homogénea
Problema cual es la solución de la siguiente ecuación diferencial no homogénea
1 Respuesta
4y" + 36y = 1/sen(3x); divido todo por 4 para dejar libre a y":
y" + 9y = 1/4sen(3x);
y(h): Auxiliar: m^2+9=0; m= √-9; m=+-3i
y(h) = C1Cos3x + C2Sen3x.
Para y(p) usaré Variación de parámetros: y(p) = u1Cos3x + u2Sen3x.
W: Cos3x %%% Sen3x
-3sen3x %%% 3Cos3x;
[3Cos^2(3x)] + [3sen^2(3x)] = 3 * [cos^2(3x) + sen^2(3x)]; 3*1= 3.
W=3
W1: 0 %%% Sen3x
1/4sen(3x) %%% 3Cos3x;
0 - [Sen(3x)*1/4sen(3x)] = (-1/4);
W1= (-1/4)
W2: Cos3x %%% 0
-3sen3x %%% 1/4sen(3x); [Cos(3x)/4sen(3x)] - 0;
u2=(1/4)Cotg(3x)
u1= ∫ [W1/W]
u1 = ∫ (-1/4) / 3;
u1= (-1/12)x
u2= (1/4)∫ Cotg (3x)*dx/3;
u2= (1/36) ln|sen(3x)|
Genero y(p) con los resultados de u1 y u2:
y(p) = (-1/12)x*Cos(3x) + (1/36)ln|sen(3x)|*sen(3x)
y=y(h)+y(p);
y= C1Cos3x + C2Sen3x - (1/12)x*Cos(3x) + (1/36)ln|sen(3x)|*sen(3x).
Observar que el segundo y cuarto monomios no son linealmente dependientes porque el último tiene una multiplicación por ln|sen(3x)|, que deshace la dependencia lineal.
