Hallar el area limitada por la curva y2=2x y la recta y=x-4

y2=2x;  o:  y=√(2x); y la recta y=x-4;

Igualo para obtener los límites de integración:

√2x = x-4;

2x = x^2-8x+16;

0 = x^2-10x + 16;  Baskara:

x= [10+-√(100-64)]/2;  x= (10+-6)/2;  x=2; x=8.

Como la parábola horizontal está por encima de la recta, es la integral de la parábola menos la integral de la recta.

∫ (de 2 a 8) √2x * dx - ∫ (de 2 a 8) (x-4) dx

Indefinidas:  Reescribo la primera:  √2* x^(1/2)*dx:  

√2 * (2/3)*x^(3/2) + C;

Para la recta:  (1/2)x^2 - 4x + C; 

Para x=8:  (2/3) * √2 * 8^(3/2) = 64/3

Menos:  32-32= 0;  ## (64/3) - 0 = 64/3;

Para x=2:  √2 * (2/3)*2^(3/2);  8/3

Menos=  2-8 = -6;   ## (8/3) - (-6) = 26/3

####   Total:  64/3 - 26/3 = 38/3 Unidades^2

Disculpa en el ejercicio me dan respuesta y dice que sale 18 unidades al cuadrado y necesito gráfica también me podría ayudar

Tienes razón, hay un error en el límite de integración, dado que no hay cruce de la parte superior de la parábola horizontal con la recta, sino que el valor x=2 se cruza con la recta únicamente con la rama inferior, por lo que se toman como límites de integración: x=0 a x=8.

Tu gráfica está en:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=(2x)%5E(1%2F2)+%3D+x-4 

y2=2x;  o:  y=√(2x); y la recta y=x-4;

Igualo para obtener los límites de integración:

√2x = x-4;

2x = x^2-8x+16;

0 = x^2-10x + 16;  Baskara:

x= [10+-√(100-64)]/2;  x= (10+-6)/2;  x=2; x=8.

Pero como la parábola horizontal tiene un mínimo de x en x=0, quedando por encima de la recta, los límites de integración son: 0; 8.

Como la parábola horizontal está por encima de la recta, es la integral de la parábola menos la integral de la recta.

∫ (de 0 a 8) √2x * dx - ∫ (de 0 a 8) (x-4) dx

Indefinidas:  Reescribo la primera:  √2* x^(1/2)*dx:  

√2 * (2/3)*x^(3/2) + C;

Para la recta:  (1/2)x^2 - 4x + C; 

Para x=8:  (2/3) * √2 * 8^(3/2) = 64/3

Menos:  32-32= 0;  ## (64/3) - 0 = 64/3;

Para x=0:  cero para ambas.  Resultado= 64/3 unidades ^2.

Observa que la recta, en el intervalo [ 0; 4] tiene la misma área negativa que tiene de positiva entre [4; 8], con lo que no resta ni suma al área entre el eje x y la parábola desde x=0 a x=8.  Esto hace que quede con un total de 64/3.

¿Cómo llegas a 18? Me interesaría saberlo.

Este resultado está corroborado con Wolfram en:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=integral+from+0+to+8+(2x)%5E(1%2F2)dx+-+integral+from+0+to+8+(x-4)%5D+dx 

Para los límites de integración:  en x=0 no hay cruce de funciones, sólo en x=8.

Otra forma de interpretarlo: Si tomamos el "área encerrada por la parábola y la recta", es decir: a) de x=0 a x=2, el área limitada por las ramas superior e inferior de la parábola, y b) de x=2 a x=8 el área limitada por la rama superior de la parábola y la recta.

Para a), es el doble del área entre la rama superior de la parábola y el eje x:

√2 * (2/3)*x^(3/2) + C;  desde 0 a 2 (y luego multiplico por 2):

Para x=2:  8/3;  Para x=0:  0.

El doble:  16/3  (ÁREA IZQUIERDA)

Para b) la parábola menos la recta, de 2 a 8:

√2 * (2/3)*x^(3/2) + C (de 2 a 8):

Para x=8:  64/3;  Para x=2:  8/3;  resto=56/3

Para la recta:  (1/2)x^2 - 4x + C; 

Para x=8:  0;  Para x=2:  (-6);  resto=6;

Resto parábola - recta:  56/3 - 6 = 38/3;  (ÁREA DERECHA)

Sumo área izquierda + derecha:  16/3 + 38/3 = 54/3;  simplifico:  18;

####   Y ahora sí llegamos a las 18 unidades^2 de tu respuesta.

Creo que en un caso como este, debería indicarse mediante una gráfica qué área se desea obtener. Observa que incluso un programa informático como Wolfram no lo interpreta de esta manera.