Conjuntos aplicaciones , relaciones. Aritmética entera y modular.

Ejercicio 1. Calcula la inversa de cada una de las siguientes aplicaciones:

1. F : Q → Q dada por f(x) = 7x−13 18 .

2. F : Z87 → Z87 dada por f(x) = 55x + 63.

3. F : Z × Z → Z × Z dada por f(x, y) = (x + y, x + 2y).

4. F : R \ {0, 1} → R \ {0, 1} dada por f(x) = 1 1−x .

Ejercicio 2. Sea X = {−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3}. En X × X definimos la relación de equivalencia: (x, y)R(z, t) si |x| + |y| = |z| + |t|

1. Describe explícitamente las siguientes clases de equivalencia: [(0, 0)], [(2, −1)], [(3, 0)] y [(−2, 3)].

2. Determina cuál es el cardinal del conjunto cociente. Razona la respuesta.

Ejercicio 3. Sea X = {(1, 1), (2, 1), (1, 2), (3, 2), (2, 3), (5, 2), (4, 5), (5, 5)} ⊆ N × N. Consideramos en X los tres órdenes siguientes:

Orden producto.

Orden lexicográfico.

El orden dado por (a, b) ≤ (c, d) si 2 a · (2b + 1) ≤ 2 c · (2d + 1).

1. Dibuja el diagrama de Hasse del conjunto X con cada uno de los órdenes que acabamos de mencionar.

2. En cada caso calcula cotas superiores e inferiores; supremo e ínfimo; elementos maximales y minimales; máximo y mínimo.

Ejercicio 4. Calcula todos los números de tres cifras que al escribirlos en base 9 se escriben con las mismas cifras pero en orden inverso.

Ejercicio 5. Un grupo de turistas viaja en 5 autocares iguales. Cuatro de ellos completos y el quinto con 20 plazas libres. A la hora de almorzar en el comedor del hotel se encuentran que hay mesas para 10 y 8 personas. Los turistas de los autobuses cuartoy quinto ocupan las mesas de 10 plazas. El resto se ubica en las mesas de 8 personas, y quedan 3 puestos libres. Por la tarde van a un Museo, y deben entrar en grupos de 13. Al hacer la distribución queda un último grupo con 8 personas. ¿Cuántos turistas viajaron en total, y cuántas plazas tenía cada autobús?