Encuentra una solución particular a las siguientes ecuaciones

1. Y(v)+2y'''+2y''=3x^2-1

Homogénea:  m^5 + 2m^3 + 2m^2=0;

m^2(m^3+2m+2)=0;  Las soluciones son aproximadas:

y(h) = C1+C2x + C3e^(-0.77x) + e^(0.3855x)*(C4*sen1.5639x + C5*cos1.5639x).

y(p): Al ser un polinomio de segundo grado podemos usar Coeficientes indeterminados.

y(p)= Ax^2+Bx+C;

y ' (p) = 2Ax + B;

y ''(p) = 2A;  y las derivadas siguientes son todas =0.  Reemplazo e igualo:

0 + 2*0 + 2A = 3x^2-1;  A= (-1/2).  B y C serán iguales a 0:

y = C1+C2x + C3e^(-0.77x) + e^(0.3855x)*(C4*sen1.5639x + C5*cos1.5639x) - 1/2;  que como es una constante, puede ponerse como parte de C1 y queda la Homogénea como total.

Otra forma de resolverlo es derivando tres veces la inicial:

D''' * [y(v)+2y'''+2y''] = 0;  quedando como homogénea desde el inicio.  En este caso quedaría:  

y = C1+C2x +C6x^2+C7x^3+C8x^4 + C3e^(-0.77x) + e^(0.3855x)*(C4*sen1.5639x + C5*cos1.5639x).

2. Y''+9y=2 sec(3x)

y(h):  m^2 + 9 =0;  m=+-3i

y(h) = C1sen3x + C2cos3x.

y(p):  Por variación de parámetros, quedará:

y(p) = sen(3x)u1 + Cos(3x)u2.

W= sen(3x) #### Cos(3x)

       3cos(3x) #### -3sen(3x);

-3sen^2(3x) - 3cos^2(3x);  Factorizo:  (-3)[sen^2(3x) + cos^2(3x)];

Como [sen^2(3x) + cos^2(3x)] = 1;  W=(-3)

W1=0 #### Cos(3x)

       2/cos(3x) #### -3sen(3x);

0 - 2[cos(3x)/cos(3x)];  W1= (-2)

W2= sen(3x) #### 0

        3cos(3x) ####2/cos(3x);  

2Tan(3x) - 0;  W2=2Tan(3x)

u1= ∫ W1dx/W;    u1= ∫ (-2)dx / (-3);

u1= (2/3)x;

u2= ∫ W2dx/W;  u2= ∫ 2Tan(3x)dx / (-3);  u2=(-2/3) ∫ Tan(3x)dx;

CDV:  t=3x;  dt=3dx;  dx=dt/3;  queda:  (-2/9) ∫ Tan t *dt;

(2/9) ln |cosx|;

y(p) = sen(3x)*(2/3)x + cos(3x)*ln|cosx|;

y = C1sen(3x) + C2cos(3x) + sen(3x)*(2/3)x + cos(3x)*ln|cosx|;  o:

y = sen(3x)*[C1+(2/3)x] + cos(3x)*[C2+ln|cosx|]