Usando el lema "La diferencia de cualesquiera dos soluciones de la ecuación no homogénea, es una solución de la homogénea"

Ecuaciones diferenciales de orden superior

Usando el lema "La diferencia de cualesquiera dos soluciones de la ecuación no homogénea, es una solución de la homogénea", encuentra la solución de la ecuación diferencial lineal de segundo orden, sabiendo que tres soluciones de la no homogénea asociada, son:
                       

$$\begin{align}&ϕ1(τ)=t2,ϕ2(τ)=t2+e2t,ϕ3(τ)=1+t2+2e2t\end{align}$$

¿Cuántas funciones linealmente independientes necesitas encontrar para dar la solución general de una ecuación diferencial lineal homogénea de orden 4? ¿Esto contradice el teorema de Existencia y Unicidad?