Encontrar y clasificar los puntos críticos para la función (𝑥, 𝑦) =𝑥^2+𝑦^2− 4𝑥𝑦+1
Derivadas parciales
Encontrar y clasificar los puntos críticos para la función
$$\begin{align}&f(𝑥, 𝑦) =𝑥^2+𝑦^2− 4𝑥𝑦+1\end{align}$$
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Respuesta de Norberto Pesce
1
f(x,y)=x2+y2−4xy+1; Llamaré z a f(x;y);
∂z/∂x = 2x - 4y; igualo a 0: 2x=4y; x=2y;
∂z/∂y= 2y-4x; igualo a 0: 2y=4x; reemplazo con x=2y;
x=4x; 0=3x; x=0;
Reemplazo en x=2y; y=0
Generamos la matriz Hessiana:
∂2z/dx^2 %%%% ∂2z/∂x∂y
∂2z/∂y∂x %%%% ∂2z/∂y^2; para este caso:
2 %%%% -4
-4 %%%% 2; (2*2) - (-4*-4) = 4-16; -12; resultado negativo, por lo que el punto (0; 0) es una ensilladura.
Recordar que si el resultado es positivo hay que ver el signo de ∂2z/∂x^2: positivo es un mínimo; negativo un máximo (y si es 0, debe buscarse manualmente por las proximidades del punto).
