¿Cómo hallar un polinomio que pasa por 3 puntos y además en otro punto más la pendiente de la recta tangente es igual a -1?

En principio tienes 4 datos, 3 que corresponden a la función y otro a la derivada. Podría darse el caso que se pueda resolver con un polinomio de grado 2 (ya que tienes 3 puntos) y ver si cumple la derivada, en caso que esto no sea posible entonces habrá que plantear un polinomio de grado 3 y usar también lo que conocemos de la derivada

Supongamos inicialmente y = ax^2 + bx + c

Sabemos que

0 = a0^2 + b0 + c

2 = a*1^2 + b*1 + c

0 = a*2^2 + b*2 + c

reacomodando todo tenemos

0 = c

2 = a + b

0 = 2a + b

restando las últimas 2 expresiones

2 = -a, de donde a = -2

Usamos cualquiera para calcular b

2 = -2 + b entonces b = 4

Por lo que el polinomio sería y = -2x^2 + 4x

Veamos si cumple la derivada

y' = -4x + 4

Dice que en x=1 la derivada vale -1, pero 

y'(1) = -1*(1) + 4 = 3 Por lo tanto este polinomio no sirve

Planteemos un polinomio de grado 3

y = ax^3 + bx^2 + cx + d

0 = a*0^3 + b*0^2 + c*0 + d

2 = a*1^3 + b*1^2 + c*1 + d

0 = a*2^3 + b*2^2 + c*2 + d

además sabemos que y' = 3ax^2 + 2bx + c

-1 = 3a*1^2 + 2b*1 + c

Reacomodando todo lo que conocemos

0 = d

2 = a + b + c

0 = 8a + 4b + 2c

-1 = 3a + 2b + c

Resto la segunda expresión de la última y la tercera y dos veces la última

3 = -2a - b

2 = 2a ...se deduce que a=1, remplazo en la expresión de anterior

3 = -2*1 - b...se deduce que b = -5

Uso la última expresión de las iniciales

-1 = 3*1 + 2*(-5) + c...se deduce c = 6

Por lo que el polinomio buscado con los datos dados es:

y = x^3 - 5x^2  + 6x

Salu2

Puntos (0,0), (1,2),(2,0) y además en el punto (1,2) la pendiente de la recta tangente es igual a -1

Si tenemos un polinomio:  y=ax^3 + bx^2 + cx + d;  por el dato (0; 0), d=0, quedando sólo:  y=ax^3 + bx^2 + cx

0= 0a+0b+0c

2=a+b+c

0=8a+4b+2c

Además:  y ' = 3ax^2+2bx+c; que resulta en (1; 2):  -1 = 3a+2b+c;

2=a+b+c

0=8a+4b+2c

-1 = 3a+2b+c

Tres igualdades, tres incógnitas: tiene resolución única; resuelvo por cualquier método (Usaré Cramer).

D= (1*4*1 + 1*2*3 + 1*8*2) - (1*4*3 + 1*2*2 + 1*8*1) = (4+6+16)-(12+4+8);

D=2

Da=[2*4*1+ 1*2*(-1) + 1*0*2] - [1*4*(-1)+ 2*2*2 + 1*0*1]= (8-2)-(-4+8);

Da= 2;

Db= [1*0*1 + 2*2*3 + 1*8*(-1) ] - [ 1*0*3 + 1*2*(-1) + 2*8*1]= 4-14;

Db= (-10);

Dc= [1*4*(-1) + 1*0*3 + 2*8*2] - [2*4*3 + 1*0*2 + 1*8*(-1)] = 28-16=12

Dc= 12;

a= 2 / 2 = 1

b= (-10) / 2 = (-5)

c= 12/2 = 6;  

Corroboro: 

2=1-5+6;

0=8-20+12;

-1=3-10+6;  es correcto.

Finalmente, tu polinomio es:  y = x^3 -5x^2+6x;

Puedes corroborarlo con los tres puntos:

(0; 0):  0=0+0+0;

(1; 2):  2=1-5+6;

(2; 0):  0 = 8-20+12;

y con la derivada en (1; 2):  y ' = 3x^2 -10x+6;

-1= 3-10+6.  Todo es correcto.