Demostración que usted realizó sobre mcd(a + b, a^2 + b^2) = 1 o 2

EN una publicaciòn anterior, usted realiza la siguiente demostración:

si el mcd(a,b)=1 demuestre que mcd(a + b, a^2 + b^2) = 1 o 2

Supondremos que a<=b. Si no es así, los intercambiamos que la expresión que queda es la misma.
Restaremos "a" veces el término (a+b) al segundo término
mcd(a+b,a^2+b^2) = mcd(a+b, a^2 + b^2 - a(a+b)) =
= mcd(a+b, a^2 + b^2 - a^2 - ab) = mcd(a+b, b^2 - ab) =
= mcd(a+b, b(b-a))
Qué agudos fuimos con imposición inicial para que el segundo término sea positivo.
Sea d un divisor de (a+b) y b(b-a).
Como mcd(a,b)=1 ==> "d" no puede ser un divisor mayor que 1 de "a"  porque
(a+b)/ d = a/d +b/d = n + b/d
Con "n" entero y b/d no entero (ya que si lo fuese dividiría a "b" y por tanto el mcd(a, b) sería "d" al menos)
Y no divide a (a-b) luego "d" mayor que 1 que divida a "a" no divide a (a+b)
Análogamente se demuestra que "d" mayor que 1 que divida a "b" no divide a (a+b).
Como "d" no divide a "b", para que pueda dividir a b(b-a) los factores primos de "d" no simplificables con "b" deben dividir a (b-a). Y además deben existir esos factores, no pueden ser el 1 a secas.

Con relación a ella le agradezco me explique qué propiedad justifica este paso:

"Restaremos "a" veces el término (a+b) al segundo término
mcd(a+b,a^2+b^2) = mcd(a+b, a^2 + b^2 - a(a+b)) ="
A mí me piden hacer esa demostración pero no he logrado hacerla, sin embargo, me interesa copiarla, si no comprenderla: me la plantean de la siguiente forma:

mcd(a + b, a^2 + b^2) es igual a 1 ó 2.
[Sugerencia: a^2 + b^2 = (a + b)(a − b) + 2b^2.]