Determinar la ecuación de la circunferencia dado los puntos y una recta

(1) La mediatriz de la cuerda que pasa por los puntos A = (-2,4) y B = (3,6) pasa por el centro, que dicho sea de paso pasa por algún punto sobre la recta 2x+y=3, es decir por un punto de la forma O = (x, 3-2x)

(2) Punto medio entre los extremos del segmento A = (-2,4) y B = (3,6): M = (1/2 , 5)

(3) Los segmentos AB y OM son ortogonales. Hallemos la pendiente de cada segmento:

$$\begin{align}&m_{AB}=\frac{2}{5}\wedge m_{OM}=\dfrac{2+2x}{\frac{1}{2}-x}=\frac{4x+4}{1-2x}\\&\\&\text{Luego se tiene que }m_{AB}\times m_{OM}=1\text{ entonces}\\&\\&\frac{2}{5}\times \frac{4x+4}{1-2x}=-1\\&\\&\boxed{x=\dfrac{13}{2}}\end{align}$$

(4) Entonces el centro de la circunferencia es

$$\begin{align}&(x,3-2x)=\left(\dfrac{13}{2},-10\right)\end{align}$$

(5) cálculo del radio

$$\begin{align}&r=\sqrt{\left(\dfrac{13}{2}-3\right)^2+(-10-6)^2}\\&\\&r=\sqrt{\dfrac{49}{4}+256}\\&\\&r=\dfrac{\sqrt{1073}}{2}\end{align}$$

(6) Ecuación de la circunferencia

$$\begin{align}&\left(x-\dfrac{13}{2}\right)^2+(y+10)^2=\dfrac{1073}{4}\end{align}$$

Te adjunto a continuación la respuesta: