Determiné una ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función y=Xlnx , en x=1 graficar

y=x* lnx; 

Única limitante en el dominio: x>0, porque en los reales no hay ln de números negativos.

Tomamos límite por derecha para x->0:

Como x es un infinitésimo de mayor grado que lnx, y x tiende a 0, el límite vale 0(-); es decir, se acerca a 0 por debajo del eje x.

No hay asíntotas, porque lím x-> +infinito para y/x = ln x;  también tiende a +infinito.

Derivación en cadena:  y ' =  d(x)*lnx + x* d(lnx);

y ' = 1*lnx + (x* 1/x)

y ' = lnx + 1; 

Igualo a 0 para máximos y mínimos:  ln x = (-1);  x= e^(-1);  tenemos un máximo o mínimo en x=e^(-1);

Segunda derivada para obtener inflexiones y ver si x=e^(-1) es máximo o mínimo:  y ' ' = 1/x;  

No tengo valores de x para y ' ' = 0, porque quedaría:  0 = 1.

Si x= e^(-1);  y ' ' = e;  (valor positivo, con lo que x=e^(-1) es un mínimo.

Hallemos la recta tangente a x=1;  

y=x*lnx;  y= 1* ln 1;  y=0;  el punto es:  (1; 0)

y ' = lnx + 1;  y ' (1) = 1;

Recta:  y= mx+b;  

0 = 1*1 + b;  b=-1;

Recta tangente a (1; 0):  y = x -1