Me gustaría saber cómo se resuelve el siguiente problema de magnetismo en el vacío:
Me han propuesto el siguiente ejercicio sobre interacción magnética en el vacío:
Una espira circular de alambre de masa m y radio R que transporta una corriente de intensidad I se encuentra en un campo magnético uniforme. Inicialmente se encuentra en equilibrio (a) ¿Cómo estará orientado el momento magnético de la espira respecto del vector campo B? (b) En un determinado instante se gira la espira alrededor de un diámetro un pequeño ángulo y a continuación se deja en libertad, suponiendo que el único momento al que está sometida la espira es el debido al campo magnético ¿cuál será el periodo de las oscilaciones de la espira siendo I' el momento de inercia de la espira?
1 Respuesta
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Disculpa por no usar fórmulas como es debido pero te responderé igual (está es mi segunda respuesta).
(a) para que la espira esté en equilibrio el momento de fuerza o torque T debe ser cero. La fórmula de T es: T=M×B, este es un producto vectorial (T, M(momento magnético de la espira) y B son vectores). El valor de M = i A(la multiplicación "i A") (apartir de aquí no usaremos los vectores) donde i es la intensidad de la corriente y A el área de la espira (A=Pi R^2). El producto vectorial anterior usando los módulos de los vectores queda: T = M B sen a, donde a es el ángulo entre los vectores. Entonces si T es nulo, M y B no son nulos, a = 0 (sen =0). Por lo que están orientados en la misma dirección y sentido B y M.
(b) Ahora, para que la espira empiece a oscilar alrededor de la posición de equilibrio anterior, está poscición tiene que ser de equilibrio estable (los momentos de fuerza que aparecen debido a la Fuerza de Ampere tienden a regresar a la espira a su posición de equilibrio). Empecemos por calcular el torque T. T= M B sen a. Este a no es el ángulo de inclinación de la espira pero se puede demostrar con un pequeño dibujo y con la regla "dos ángulos agudos con los lados perpendiculares entre sí son iguales" que a es del mismo valor que el ángulo de inclinación de la espira. La fórmula de la aceleración angular a" (segunda derivada respecto al tiempo de a) es a" = T÷I', donde I' es el momento de inercia. Sustituyeno T aquí queda una ecuación diferencial sencilla de resolver : a" + (i A B ÷ I') a = 0. Está es la forma de una oscilación armónica simple. La frecuencia angular w es la raíz cuadrada de lo que está entre paréntesis. Por último el período t es, t= 2 Pi ÷ w. Sustituyendo w por la raíz cuadrada de (i A B ÷ I') obtienes la expresión de la respuesta.
Cundo sustituimos T en la expresión de a" para que nos quedara la forma de una oscilación armónica como nos quedó faltó un paso muy importante. Si te fijas en el segundo término del miembro izquierdo verás a en vez de ver sen a, esto se debe a que como el ángulo es muy pequeño (si no fuera de esta forma la espira no oscilara) sen a ~ a ( de aproximan ).
