Estudio de una función trigonométrica.

Hola Mario, yo hise g'(x)=-2cos(x)×sen(x) luego igualé a cero y despejé el cos(x), pero veo que me equivoqué. 

Era más fácil ver qué cos^2(x)=cos(x)×cos(x)=-2sen(x)

Muxas gracias  por la explicación y la gráfica.

salu2 :-)

Si la función se encuentra en el intervalo [0,pi] ¿Se puede tomar como referencia para calcular, los intervalos de la funcion cos?, es decir, si la función cos pasa por 0, pi/2 y pi, se puede calcular en pi/4 y 3pi/4?

Tenemos a la función

$$\begin{align}&g(x)=\cos^2(2x)\end{align}$$

En este caso la función g es creciente en cierto intervalo I (o intervalos) cuando g'(I) > 0 (estrictamente creciente) o g'(I) ≥ 0 (creciente). Entonces hallemos tales intervalos:

$$\begin{align}&\dfrac{dg}{dx}=\dfrac{d}{dx}\cos^2(2x)\\&\\&\dfrac{dg}{dx}=\dfrac{d}{d(2x)}\cos^2(2x)\cdot \dfrac{d(2x)}{dx}\\&\\&\dfrac{dg}{dx}=2\cdot\dfrac{d}{d(2x)}\cos^2(2x)\\&\\&\dfrac{dg}{dx}=2\cdot\dfrac{d}{d[\cos(2x)]}\cos^2(2x)\cdot \dfrac{d[\cos(2x)]}{d(2x)}\\&\\&\dfrac{dg}{dx}=2\cdot[2\cos(2x)]\cdot[-\sin(2x)]\\&\\&\dfrac{dg}{dx}=-4\sin(2x)\cos(2x)\\&\\&\dfrac{dg}{dx}= -2\sin(4x)\\&\\&\\&\text{Calculando los intervalo de crecimiento ...}\\&\\&\dfrac{dg}{dx}\geq 0\\&\\&-2\sin(4x)\geq 0\\&\\&\sin(4x)\leq 0\\&\\&\text{Como sabemos, la función $\sin $ es negativa cuando su argumento está en el IIIC y IVC}\\&\text{es decir }4x\in[\pi,2\pi]\cup[3\pi,4\pi]\cup\cdots \cup[(2k-1)\pi,2k\pi]\cup\cdots=\bigcup\limits_{k\in\mathbb{N}}[(2k-1)\pi,2k\pi]\\&\\&\text{Por otra parte la función $\sin$ es negativa cuando el argumento sea negativo y este pertenezca a IC y IIC}\\&\\&\text{es decir }4x\in[-\pi,0]\cup[-3\pi,-2\pi]\cup\cdots\cup[-(2k-1)\pi,-2(k-1)\pi]\cup\cdots=\bigcup\limits_{k\in\mathbb{N}}[-(2k-1)\pi,-2(k-1)\pi]\\&\\&\text{Finalmente }4x\in \bigcup\limits_{k\in\mathbb{N}}[(2k-1)\pi,2k\pi]\cup[-(2k-1)\pi,-2(k-1)\pi]\\&\\&x\in \bigcup\limits_{k\in\mathbb{N}}\left[\frac{2k-1}{4}\pi,\frac{k}{2}\pi\right]\cup\left[-\frac{2k-1}{4}\pi,-\frac{k-1}{2}\pi\right]\end{align}$$