Estudio de los puntos maximos y minimos de la funcion.

Veamos pues...

$$\begin{align}&f(x)=x^3+x^2+x+1\\&\\&f'(x)=3x^2+2x+1\\&\\&\text{La pregunta es si $x=0$ es un extremo. Si calculamos $f'(0)$ tenemos que es igual a 1}\\&\text{o sea $x=0$ no es un extremo. Luego te planteas si la función $f$ tiene extremo}\\&\\&f'(x)=3\left(x^2+\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}\right)\\&\\&f'(x)=3\left(x^2+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}-\frac{1}{9}+\frac{1}{3}\right)\\&\\&f'(x)=3\left(x^2+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}+\frac{2}{9}\right)\\&\\&f'(x)=3\left(x^2+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}\right)+\frac{2}{3}\\&\\&f'(x)=3\left(x+\frac{1}{3}\right)^2+\frac{2}{3}\\&\\&f'(x)\geq \frac{2}{3} , \forall x \in\mathbb{R}\\&\\&\text{Recordemos esto, si $x=x_0$ es un extremo para una función $f:X\subset \mathbb{R}\to  \mathbb{R}$ entonces}\\&\text{$f'(x_0)=0$ por eso por contraposición, nuestra función no tiene extremos }\forall x \in  \mathbb{R}, \text{es más}\\&\text{la función es siempre creciente}\\&\\&\end{align}$$

Bluenile, la derivada que calculaste está bien. Para polinomios cuadráticos, hay una forma muy directa de encontrar las raíces y es mediante la expresión siguiente:

$$\begin{align}&{\color{blue}a}x^2+{\color{red}b}x+{\color{green}c}=0\\&x_{1,2}=\frac{-{\color{red}b}\pm \sqrt{{\color{red}b}^2-4\cdot {\color{blue}a} \cdot {\color{green}c}}}{2\cdot {\color{blue}a}}\\&en este caso tenemos que:\\&a=3\\&b=2\\&c=1\\&\text{Por lo que la expresión queda:}\\&x_{1,2}=\frac{-{\color{red}2}\pm \sqrt{{\color{red}2}^2-4\cdot {\color{blue}3} \cdot {\color{green}1}}}{2\cdot {\color{blue}3}}=\\&\frac{-2 \pm \sqrt{-8}}{6}\end{align}$$

Como ves de esa expresión quedó la raíz de un número negativo lo que significa que no tiene raíces reales.

Aprovechando el uso del geogebra grafico la función y creo que te darás cuenta por que no tiene extremos (lo que si tiene es punto de inflexión en x=-1/3)

Salu2