Como resolver ecuaciones con variables separables pruebas saber pro
Las ecuaciones diferenciales de la forma:𝑑𝑦/𝑑𝑥=𝑔(𝑥)ℎ(𝑦), se pueden resolver a través de la técnica llamada separación de variables que consiste en separar las variables a ambos lados de la igualdad, de tal manera que aun lado se exprese como una función que dependa solamente de x y al otro lado sólo de y, para luego integrar cada miembro respecto de la variable correspondiente, es decir: ∫ 1/ℎ(𝑦)𝑑𝑦=∫𝑔(𝑥)𝑑𝑥
Hay ecuaciones diferenciales que no se pueden resolver utilizando directamente la separación de variables, pero pueden ser transformadas en separables por medio de sustituciones adecuadas, como es el caso de las Ecuaciones Diferenciales Homogéneas que son de la forma:𝑑𝑦/𝑑𝑥=𝑓(𝑥,𝑦), o𝑀(𝑥,𝑦)𝑑𝑥+𝑁(𝑥,𝑦)𝑑𝑦=0, que por homogeneidad quedan del mismo grado y que se pueden expresar como una función que sólo depende del cociente𝑦𝑥, o de la forma𝑑𝑦/𝑑𝑥=𝑓(𝑢), donde𝑢=𝑦/𝑥, por lo tanto𝑑𝑦/𝑑𝑥=𝑓(𝑦𝑥).
1 Respuesta
La primera, separando variables queda:
x^2*lnx dx = [(y+1)^2 / y] dy
A la izquierda por partes:
u=lnx; du= dx/x;
v= (1/3)x^3; dv=x^2*dx;
(1/3)x^3lnx - ∫ (1/3) x^2; integro: (1/3)x^3lnx - (1/9) x^3;
A la derecha: ∫ (y^2+2y+1)dy / y; o: ∫ (y + 2 + 1/y)dy;
(1/2)y^2+2y+lny + C;
Total: (1/3)x^3lnx - (1/9) x^3 = (1/2)y^2+2y+lny + C;
Opción a).
Para la segunda, ¿podrías por favor reescribirla? No puedo entender si y^3 está incluida dentro de (dy/dx) y qué significa a la derecha (dy/dx ' ); Si fuera dx ', debería quedar una ED de segundo grado.
aquí esta el ejercicio mejor detallado
Finalmente he podido "deducir" que la ED solicitada es:
y^3 + x^3(dy/dx) = xy^2(dy/dx);
Si multiplicamos todo por dx:
y^3 dx + x^3dy = xy^2dy; corroboramos homogeneidad:
k^3(y^3 dx + x^3dy) = k^3*xy^2dy; si simplificamos k^3 queda la ED inicial, lo que corrobora que es una ED homogénea en 3° grado de homogeneidad.
y=ux; dy=xdu + udx; u=y/x; reescribo reemplazando:
(ux)^3dx + x^3(xdu + udx) = x(ux)^2*(xdu + udx); simplifico x^3:
u^3dx + xdu + udx = u^2*(xdu + udx);
u^3dx + xdu + udx = u^2*xdu + u^3dx; simplifico u^3dx:
xdu + udx = u^2*xdu;
udx = (xu^2 - x)*du; udx = x(u^2-1)du;
dx/x = (u - 1/u)du; integro:
ln|x| = (1/2)u^2 - ln|u| + A; Hago A= ln C, que también es una constante:
ln|x| + ln|u| - lnC = (1/2)u^2;
ln |xu/C| = (1/2)u^2; o: Cxu=e^(u^2/2); devuelvo variable:
y/C = e^(y^2/2x^2); o:
y = C*e^(y^2/2x^2); que corresponde a tu opción a)
