Como resolver ecuaciones diferenciales homogéneas pruebas pro
5. Si una ecuación homogénea de la forma𝑀(𝑥,𝑦)𝑑𝑥+𝑁(𝑥,𝑦)𝑑𝑦=0, las funciones M y N son del mismo grado de homogeneidad, puede reducirse a una ecuación de variables separables mediante el uso de una de las sustituciones𝑦=𝑢𝑥, o,𝑥=𝑣𝑦
Un estudiante decide hacer la sustitución 𝑦=𝑢𝑥 en la ecuación diferencial (𝑦2+𝑥𝑦)𝑑𝑥−𝑥2𝑑𝑦=0 y obtiene la ecuación de variables separables 𝑢2𝑑𝑢−𝑥𝑑𝑥=0. El proceso anterior es:
1 Respuesta
(𝑦2+𝑥𝑦)𝑑𝑥−𝑥2𝑑𝑦=0; Corroboro homogeneidad:
(k^2y^2 + k^2xy)dx - k^2x^2dy=0; Factorizo: k^2[ (𝑦2+𝑥𝑦)𝑑𝑥−𝑥2𝑑𝑦]=0;
Es una ED Homogénea en segundo grado de homogeneidad.
y=ux; dy=xdu + udx; además: u=y/x
[(ux)^2 + xux]dx - x^2(xdu + udx) = 0; factorizo:
x^2[(u^2+u)dx - (xdu + udx) ]= 0; o: (u^2+u)dx - (xdu + udx) = 0;
u^2dx - xdu= 0; o: u^2dx = xdu;
dx/x = du/u^2; integro:
ln|x| = (-1/u) + C; devuelvo variable:
ln|x| = (-x/y) + C;
ln|x| - C = (-x/y); C-ln|x| = x/y;
y = x/ (C-ln|x|)
Respuesta correcta: c), porque al reemplazarlo se obtiene: u^2dx - xdu= 0
