Lo mejor sería que pudierais llegar a un acuerdo amistoso entre vosotros. Si no es posible, entonces tendréis que buscar a un abogado (o dos, cada uno por su parte) para que os ayude a encontrar un acuerdo apto para todos. Si esto tampoco será posible, tendrá que ser un juez quien decida sobre la custodia y sobre la pensión.
Ahora bien, ¿él no quiere irse del piso, por comodidad, o quizás no quiere abandonar a sus hijos? Son cosas diferentes ya que tu pareja, considerando que es un buen padre, también podría pedir la custodia, o por lo menos la custodia compartida. Dependiendo de la comunidad en que vivís, le puede ser más fácil o más complicado a conseguirlo (en Catalunya, por ejemplo, la custodia compartida se da en casi la mitad de los casos).
En caso de la custodia exclusiva (digamos, si la quieres tener tú y tu pareja lo acepta), en la vivienda se quedaría vivir el padre custodio/ la madre custodia.
En cuanto sus ingresos en negro, ten en cuenta que para demostrarlos, puede ser necesario a denunciarlo ante la Hacienda. Incluso si haya pruebas evidentes de que una parte de su sueldo es ilegal, una vez este hecho es conocido para los abogados (o para el juez) estos pueden denunciarlo (cualquier persona que tiene conocimiento sobre los ingresos ilegales de alguien puede denunciarlo ante la Hacienda), y entonces quien será ganando será la Hacienda… y tu pareja, si trabaja por cuenta ajena, seguro que tendría problemas en el trabajo por ello…
Dicho todo esto, voy a repetir que para ambos lo mejor sería llegar a un acuerdo amistoso, en cuanto la custodia, el piso, etc, y si no, busca a un abogado especializado en derecho de familia cuya intermediación os ayudaría a encontrar la mejor solución en menos tiempo, y gastando menos dinero.
Por último, me he fijado que dices que estás cobrando paro y que "dejaste el trabajo para poder estudiar". No sé si te expresaste correctamente o si mi interpretación es correcta, pero en caso si se trata de un fraude a la Seguridad Socia (un falso despido para conseguir el paro) deberías de tener cuidado. Si tu pareja lo sabe, ten en cuenta que tambíen te podría denunciar por ello, dependiendo del nivel de conflicto entre vosotros que podríais llegar...