Sucesiones de fibonnaci o geometricas ejercicios

Voy a hacer varias respuestas porque no se cuanto tiempo este aqui y al menos te voy dando de poco a poco.

El primero es una sucesion geometrica. Hqy dos formulas que se deben conocer:

Suma n primeros terminos

$$\begin{align}&Sn=A_1*\frac{r^n-1}{r-1}\end{align}$$

Termino n de la sucesion

$$\begin{align}&A_n=A_1*\frac{r^n}{r}\end{align}$$

(no me deja poner r^(n-1)).

A1 es lo que recorre el primer dia cada persona. R es el valor al que se esta multiplicando cada termino. Para paola es 2 y para el otro 3.An es lo que recorre en el dia n

En las preguntas 1 y 3 usas la segunda formula para n=30 y 20. En la 2 y 4 usas la de suma de n terminos

Para el el segundo ejercicio llamemos a0 a 10000

Dice que se devalúa un 20% anualmente. El valor al lado de a representa lo que vale cada año. Veamos el patrón que sigue

(Voy a poner a0 en vez de 10000 porque es más corto)

$$\begin{align}&a_0=10000\\&a_1=a_0-\frac{20}{100}a_0=\frac{4}{5}a_0\\&a_2=a_1-\frac{20}{100}a_1=\frac{16}{25}a_0\\&a_3=a_2-\frac{20}{100}a_2=\frac{64}{125}a_0\\&a_4=a_3-\frac{20}{100}a_3=\frac{256}{625}a_0\end{align}$$

Lo hice directo pero es bastante sencillo solo sustituir los valores del termino anterior en los del termino que trabajamos y luego simplificar. El patron es 

$$\begin{align}&a_n=(\frac{4}{5})^na_0\end{align}$$

Verificando. Año 3

a3=(4/5)^3a0=a0*^64/125. Que es el mismo valor que nos dio. Puedes probar con los otros terminos.

Para la pregunta b solo sustituyes n por 10 y listo

La 3 es de un área llamada interés compuesto y usas lo siguiente

$$\begin{align}&V=2000(1+80/100)^n\end{align}$$

Sustituyes n por 5 y listo

La 4 la altura inicial es 6=h y a partir de ahí la altura se reduce 3/4

Esto se conoce como serie (Fíjate que el siguiente salto es de 3/4 la altura anterior, el valor va disminuyendo pero nunca va a ser cero. Al menos no en un numero finito de saltos)

Para encontrar esta fórmula, recuerda h=6 y voy a llamar 3/4 r

$$\begin{align}&S=h+rh+r(rh)+r(r(rh))+...\\&S=h+rh+r^2h+r^3h+...\\&rS=rh+r^2h+r^3h+r^4h+...\\&S-rS=h\\&(1-r)S=h\\&S=\frac{h}{1-r}\\&\end{align}$$

En la tercera linea multiplico a la segunda linea por r en ambos lados y luego resto ambos valores. Con infinito esta no es la mejor demsotracion porque le falta unas cositas pero bueno tienes el valor de h y el valor de r. Sustituyes y listo

Lo que me refiero a que no es la mejor demostración es porque esta incompleta, porque en S-rS queda h+h*r^n+1. Pero como te dije que estamos en el infinito. Y sabiendo que la fórmula esta funciona para valores de -1<r<1. Un numero en ese intervalo elevado a la n en el limite cuando n tiende a infinito se vuelve cero. Me salte ese paso por si tenias duda o algo

Para el 5to usamos la fórmula de suma de n primeros números

$$\begin{align}&S=\frac{n(n+1)}{2}\end{align}$$

Sustituimos n por 35 y multiplicamos ese valor por 0.01

EN EL 6 USAS LA MISMA FÓRMULA DEL 4 por el mismo razonamiento se va moviendo a la mitad pero nunca va a dejar de moverse en un numero finito de veces. CON H=20 y r=1/2

En el 8 igual

La pregunta 7 no la entiendo, osea. ¿Se van formando nuevos cuadrados dentro del cuadrado original usando los puntos medio? Porque eso es lo que le entiendo. Si ese es el caso, que estoy casi seguro que lo es aunque me parece rara la pregunta. Entonces todos los cuadrados se superpondrían porque el cuadrado original tiene los mismos puntos medios y entonces no importa cuantos cuadrados pongas la respuesta va a ser siempre la mitad del área del cuadrado original

La 9 estoy algo cansado ya mi cerebro no piensa, escribir por acá toma mucho tiempo. Pero es usando la fórmula del 6 y con algo de razonamiento ahí