De baja enfermedad común y fin de contrato

Es la primera vez que trabajo, empecé mi contrato por fin de obra el 24 de marzo. El día 28 se me acabo el contrato por fin de obra después de operarme por una enfermedad común el 14 de mayo. Hasta día de hoy sigo de baja, ayer la empresa me pago del 1 al 28 de mayo y la liquidacion y para decirme que la mutua no se hacía cargo de mi por no tener los días cotizados y me dijo que podía ir al Inem para volver a darme alta. En el Inem me han dicho que hasta que mi médico no me dé el lata allí no pueden darme de alta. Que alguien se tiene que hacer cargo de mi, Mutua que ya me han dicho que no o la seguridad social (INSS) intenté por la mañana contactar con la seguridad social pero me fue imposible tanto por teléfono o llendo a las oficinas presencialmente pero por el estado de alarma no tengo ninguna información. ¿Tengo qué ir a solicitar algo? ¿O ya simplemente pasa todo a la Seguridad social? ¿Y aunque no tenga los días cotizados se van hacer cargo igual?