Contra ejemplo en general para afirmar que el producto vectorial no es asociativo
cual podria ser un buen contra ejemplo para esta afirmacion?
Si fuera asociativo implicaría que vxu =uxv
El ejemplo más sencillo es usando los vectores unitarios(en r3)
(1,0,0)x(0,1,0). Puedes hacer la operación pero con la regla de la mano derecha es fácil ver que el resultado es (0,0,1). En cambio al hacer el otro producto es (0,0,-1)
cual es la regla de la mano derecha?
Bueno supongo no has vistos momentos que creo es la primera vez que se muestra.
No se si sabrás, pero el producto vectorial da un vector perpendicular a los dos con los que operas. Si lo visualizas un poco en r3, verás que hay dos posibles vectores perpendiculares, ambos en la misma dirección, pero en sentido opuesto (con el ejm que di el (0,0,1) y el (0,0,-1)).
En física el producto vectorial aparece mucho cuando trabajamos con... Vectores. Por ejemplo, podemos preguntar si una fuerza hace girar un cuerpo, y si lo hace, ¿en sentido horario o antihorario? Ese giro viene dado por el momento, y es que en casos simples donde se considera que todo ocurre en un mismo plano, el giro va a poder describirse por un vector perpendicular a ese plano, si el vector apunta hacia arriba, hay movimiento antihorario, y si apunta hacia abajo, horario.
En fin la regla de la mano derecha es una forma digamos mnemotécnica(no lo es pero el equivalente usando las manos) para saber hacia adonde apunta el vector resultante del producto vectorial.
Si tienes uxv. Lo que haces con la mano derecha es "mover tus dedos" como si estuvieras desplazando el vector u hacia v, y hacia adonde apunte tu pulgar, te dice hacia donde apunte el vector si haces uxv. Claro que sí te fijas, y haces vxu, implicaría mover v en dirección hacia u, por lo que tu pulgar apunta en sentido contrario. No es una demostración, pero es una forma de recordad que lo que se cumple en un producto vectorial es que uxv =-vxu.
Pero es irrelevante, con la operación, se obtienen los vectores que te he dicho y es suficiente para la demostración
Más importante es, ¿sabes cómo hacer un producto vectorial?
1 respuesta más de otro experto
Al igual que en el sistema axiomático de los números naturales, enteros, reales, etc una asociatividad con respecto a las operaciones de suma y producto (A,+), (A,*) donde x, y, z están en A
x +(y + z) = (x + y) + z
x * (y * z) = (x * y) * z
En el caso de los vectores con el operador ( X ) no se cumple en general la propiedad asociativa, para afirmar aquello se muestra un contra ejemplo:
Sean los vectores en R3: (1,1,1) y (0,0,1) tengamos
1) V = [(1,1,1) x (1,1,1)] x (0,0,1)
Una propiedad del producto es que si multiplicamos vectorialmente dos vectores iguales, el resultado nos da un vector nulo
V = 0 x (0,0,1)
V = 0 (vector nulo)
2) W = (1,1,1) x [(1,1,1) x (0,0,1)]
W = (1,1,1) x (1,-1,0)
W = (1,1,-2)
Entonces se ve claramente que V es diferente a W.
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Dato adicional: El producto vectorial no es conmutativo, es decir V x W ≠ W x V. Sin embargo se cumple V x W = - W x V que se denomina propiedad anticonmutativa.