Tiene mi seguro que arreglar los daños de una filtración de agua a un vecino aunque sea culpa mía.

Sí, salvo que tenga alguna cláusula rara de exclusión frente a este tipo de cosas.

Una vez haya reparado el origen (en este caso el grifo) el seguro se tiene que hacer cargo de los daños causados a su vecino.

Los seguros de hogar tienen cobertura para la responsabilidad civil, que no es otra cosa que cubrir los daños provocados por acción u omisión de alguna circunstancia, en el ámbito de la vida privada. Como particular. Y suelen ser muy amplios y con pocas limitaciones.

Por lo tanto, en general, esta situación tendría cobertura para pintar al vecino de abajo. La única salvedad es que en el condicionado aparecerá que está excluida cualquier actividad profesional, y la sustitución de un grifo podría entenderse como tal.

Suerte!