¿ Cómo resolver el volumen de una esfera?
Volumen El radio r de una esfera está creciendo a razón de 3 pulgadas por minuto.
a) Calcular la razón de cambio del volumen cuando r=9 y r=36 pulgadas.
b) Explicar por qué la razón de cambio del volumen de la esfera no es constante, a pesar de que dr/dt es constante.
2 Respuestas
a)
dV/dr = d( 4/3 pi r^3)/ dr = 4/pi r^2
dV/dt = (4/pi) r^2. 3 / min .........Para r= 9 "......dV/dt = 12/pi (81) =309.4 pulg^3 / minuto.
Para r = 36 " ...........................dV/dt = 4950.3 pulg^3 / minuto.
b) dr/dt = 3 "/min.
La razon de cambio no es constante porque dV/dr es funcion del radio.
V= (4/3) * Pi * r^3; Derivo V en función de r:
dV / dr = (4/3) * Pi * 3 * r^2; o:
dV = 4*Pi * r^2 * dr; derivo en función de t:
dV / dt = 4*Pi * r^2 * dr / dt; doy valores: dr / dt = 3 " / min;
dV / dt = 4*Pi * r^2 * 3 ( " / min); o:
dV / dt = 12 * Pi * r^2 * ("/min);
Para r= 9": dV / dt = 12 * Pi * 81 "^2 * (" / min);
dV / dt = 972 * Pi ( "^3 / min); correctamente expresado en Pulgadas cúbicas / min.
Para r= 36: dV/ dt = 15572* Pi ( "^3 / min).
La razón de cambio del radio es constante, pero el Volumen varía en función del cuadrado del radio (no es lineal con el radio): dV / dt = 4*Pi * r^2 * dr / dt