Anónimo
Como resolver unaAplicaciones de la derivada
De una pieza cuadrada de hojalata cuyos lados miden "a" se desea construir una caja, abierta por arriba, que contenga el mayor volumen posible, cortando las esquinas cuadradas iguales y doblando hacia arriba la hojalata para formar las caras laterales de la caja ¿Cuál debe ser la longitud del lado "a" de los cuadrados cortado?
1 respuesta
Estás nombrando 'a' a dos cosas distintas, por un lado dices que es el largo de la hojalata y por el otro que es el lado del cuadrado.
Yo voy a usar la nomenclatura de la imagen, cualquier cosa adáptalo a tu planteo.
El volumen será
V = (a - 2b)^2 * b (Fijate si entendés esta fórmula, porque es clave para el planteo)
El principio la dimensión de la chapa ('a') es fija y lo único que podemos cambiar es cuanto debe medir 'b', por lo tanto vamos a derivar el volumen respecto a esta última variable para ver si encontramos el máximo.
Primero voy a escribir el volumen de manera más sencilla para derivar (esto no es necesario, pero depende de cada uno).
V = ba^2 - 4ab^2 + 4b^3
Ahora derivo respecto a b
dV / db = V' = a^2 - 8ab + 12b^2
Queremos que V' sea 0, o sea
V' = 0 = a^2 - 8ab + 12b^2
De acá deberías despejar 'b' (si tenés el valor del largo de la hojalata será más fácil, sino deberás dejarlo expresado en función de dicho largo).
Como una solución, voy a considerar 'a'=1, de esta forma el valor de 'b' será un porcentaje del valor de a.
Quedamos en que
V' = 0 = a^2 - 8ab + 12b^2
Si a=1
0 = 1 - 8b + 12b^2
Cuyas raices son:
b_1 = 0.5
b_2 = 1/6
Claramente b_1 no sirve, ya que con los dos recortes (uno en cada esquina) nos "consumimos" toda la hojalata por lo que la solución queda b=1/6.
Puedes probar con otros valores de 'a' y deberías llegar a lo mismo