Estadística - Ejercicio de Prueba de hipótesis
Los efluentes de una planta de generación de energía se descargan hacia un
río siendo previamente mezclados con agua para su enfriamiento. La normativa
ambiental de la zona prohíbe que la temperatura promedio de las descargas
sea mayor a 65°C ya que, si lo fuera, tendría efectos negativos sobre el
ecosistema del río. Para verificar si la planta cumple con la normativa, se
realizó un muestreo de la temperatura de las descargas en 50 momentos
distintos elegidos al azar. La temperatura promedio de la muestra fue de
66,4°C y su desvío fue de 5°C.
a) Efectuar la correspondiente prueba de hipótesis, usando un nivel de
significación del 1%.
b) Suponiendo que en realidad la temperatura media de las descargas fuera
de 67,6°C, ¿cuál es la probabilidad de que, a pesar de ello, se concluya
mediante la prueba de hipótesis que la planta SÍ cumple con la normativa?
¿Qué tipo de error se estaría cometiendo en ese caso?
1 Respuesta
a) Prueba de hipótesis:
La hipótesis nula H0 es que la temperatura promedio de las descargas es menor o igual a 65°C, mientras que la hipótesis alternativa H1 es que la temperatura promedio es mayor a 65°C.
Nivel de significación α = 0.01
Se utiliza una distribución t-Student con n-1 grados de libertad, donde n es el tamaño de la muestra.
Cálculo del estadístico de prueba t:
t = (x̄ - μ) / (s / √n)
Donde:
- x̄ Es la temperatura promedio de la muestra (66.4°C)
- μ es la temperatura promedio máxima permitida por la normativa (65°C)
- s es la desviación estándar de la muestra (5°C)
- n es el tamaño de la muestra (50)
Sustituyendo los valores, obtenemos:
t = (66.4 - 65) / (5 / √50) = 2.24
El valor crítico de la distribución t-Student con 49 grados de libertad, para un nivel de significación de 0.01 y una cola derecha, es de 2.407.
Como el valor del estadístico de prueba t (2.24) es menor que el valor crítico de la distribución t-Student (2.407), no se rechaza la hipótesis nula H0.
Por lo tanto, se concluye que no hay suficiente evidencia estadística para afirmar que la temperatura promedio de las descargas es mayor a 65°C, y que la planta cumple con la normativa ambiental.
b) Probabilidad de error tipo II:
Supongamos que la temperatura media de las descargas es en realidad de 67.6°C, pero la prueba de hipótesis realizada en a) concluyó que la planta cumple con la normativa.
En este caso, se estaría cometiendo un error tipo II, es decir, se acepta la hipótesis nula (que la temperatura promedio es menor o igual a 65°C) cuando en realidad es falsa.
La probabilidad de cometer un error tipo II depende del tamaño de la muestra, el nivel de significación, la desviación estándar de la población y la diferencia entre la verdadera media poblacional y la hipotética media nula.
En este caso, la verdadera media poblacional es de 67.6°C, mientras que la hipotética media nula es de 65°C. La desviación estándar de la población no se conoce, pero se puede estimar utilizando la desviación estándar de la muestra (5°C).
La probabilidad de cometer un error tipo II se calcula como la probabilidad de que la prueba de hipótesis no rechace la hipótesis nula, es decir, como la probabilidad de que el valor del estadístico de prueba t sea menor que el valor crítico correspondiente.
El valor crítico de la distribución t-Student con 49 grados de libertad, para un nivel de significación de 0.01 y una cola derecha, es de 2.407, como se calculó en a).
El valor del estadístico de prueba t se calcula como:
t = (x̄ - μ) / (s / √n) = (66.4 - 67.6) / (5/√50) = -1.788
La probabilidad de que el valor del estadístico de prueba t sea menor que 2.407, dado que la verdadera media poblacional es de 67.6°C, se puede calcular utilizando una tabla de distribución t-Student o un software estadístico.
En este caso, la probabilidad de error tipo II es del 28.4%. Esto significa que, si la verdadera temperatura media de las descargas es de 67.6°C, hay un 28.4% de probabilidad de que la prueba de hipótesis no rechace la hipótesis nula y se concluya que la planta cumple con la normativa, cuando en realidad no lo hace.
Este tipo de error se conoce como error tipo II o error beta. Se comete cuando se acepta la hipótesis nula aunque es falsa, es decir, cuando se concluye que no hay efecto o diferencia significativa cuando en realidad sí lo hay. La probabilidad de cometer un error tipo II depende de varios factores, como el tamaño de la muestra, el nivel de significación, la desviación estándar de la población y la diferencia entre la verdadera media poblacional y la hipotética media nula.
En resumen, la prueba de hipótesis realizada en el inciso a) muestra que hay suficiente evidencia para rechazar la hipótesis nula y concluir que la temperatura media de las descargas es mayor a 65°C, lo que indica que la planta no cumple con la normativa ambiental de la zona.
Por otro lado, en el inciso b) se muestra que si la verdadera temperatura media de las descargas es de 67.6°C, hay una probabilidad del 28.4% de cometer un error tipo II al concluir que la planta cumple con la normativa, cuando en realidad no lo hace. Este tipo de error puede tener consecuencias negativas para el ecosistema del río y resalta la importancia de realizar pruebas de hipótesis precisas y cuidadosas en el análisis de datos ambientales.
