Distribuciones, normal, normal estándar y muéstrales.

1).

La estimación puntual de la media es la media de la muestra

$$\begin{align}&\overline{x}= \frac{10.3+12.4+11.6+11.8+12.6+10.9+11.2+10.3}{8}=11.3875\\ &\\ &\text {La definición de desviación estandar muestral es}\\ &\\ &S_{n-1} = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})^2}{n-1}}\\ &\\ &\text{pero es muy fea de calcular,}\\ &\text{ se usa está otra que da lo mismo y es más fácil}\\ &\\ &S_{n-1} = \sqrt{\frac{(\sum_{i=1}^n x_i^2)-n\overline{x}^{\,2}}{n-1}}= \\ &\\ &\sqrt{\frac{1042.75-8\times 11.3875^2}{7}}=  \sqrt {\frac{5.34875}{7}}=0.87413\\ &\\ &\end{align}$$

b) El intervalo de confianza para la media cuando se desconoce la desviación típica de la población se calcula con la fórmula.

$$\begin{align}&I= \overline{X}\pm \frac{S_{n-1}}{\sqrt n}t_{\alpha/2}\\ &\\ &I = 11.3875 \pm \frac{0.87413}{\sqrt 8} t_{\alpha/2}=\\ &\\ &11.3875 /\pm 0.30905163·t_{\alpha/2}\end{align}$$

Tenemos que hallar el valor t sub alfa/2 que falta. Alfa es lo que le falta al intervalo de confianza para llegar a uno, como nos piden el 98% de confianza es alfa=1-0.98 = 0.02 y alfa/2 = 0.01

Por otra parte la t es una t de Student con n-1 grados de libertad.

Entonces t sub alfa/2 es el valor de una t de Student con 7 grados de libertad que deje a la derecha el 0.01 de la probabilidad

Dicho valor es 2.998 buscado en una tabla, con Excel da 2.997951567

I = 11.3875 +- 0.30905163 · 2.997951567 = 11.3875 +- 0.9265218184

I = (10.460978, 12.314022)

2) Cuando n pasa de 30 ya no se usa la t de Student sino la normal. E>L intervalo de confianza es

$$\begin{align}&I = \overline{X}\pm \frac{\sigma}{\sqrt n}z_{\alpha/2}\\ &\\ &\text{Ya nos dan el radio del intervalo, luego}\\ &\\ &4.95 = \frac{18}{\sqrt{36}}z_{\alpha/2}\\ &\\ &z_{\alpha/2}= 4.95·6/18 = 1.65\end{align}$$

Ese es el coeficiente de confianza 1.65

Y eso es todo.