(2y+1)dx=(2y^3x^2+x^2y^2-2x)dy , edo de Bernoulli . Use dx/dy

En este ejercicio nos indican que usemos dx/dy, lo que interpreto que usan a y como variable independiente y a x como dependiente. Si se me permite, para no confundir "a quien está aprendiendo", usaré la forma tradicional de notación: x=variable independiente; y=dependiente, por lo que "invertiré las letras x y y" antes de desarrollar el ejercicio.

(2x+1)dy = (2x^3y^2 + y^2x^2-2y)dx;  Obviamente al finalizar el mismo deberán invertirse las letras nuevamente para que quede la respuesta acorde a lo que ha solicitado el docente.

Es una ED no lineal (variable dependiente elevado a una potencia (n) diferente de 1), y puede resolverse mediante Bernoulli, que consiste en transformarla en lineal mediante un cambio de variable: u= y^(1-n), donde y es la variable dependiente y n en este caso vale 2:

u=y^(1-2);  u=y^(-1);  y=u^(-1);  dy=-u^(-2) * du.  reemplazo:

(2x+1)*[-u^(-2)]*du = [2x^3*u^(-2 )+ u^(-2)*x^2-2u^(-1)]dx;;  paso [-u^(-2)] a la izquierda:

(2x+1)*du = (-2x^3 - x^2+2u)dx;;    (2x+1)*(du/dx) = -2x^3 - x^2+2u;; 

Hago la división de ambos miembros por (2x+1) y queda:

du/dx = (-x^2) + u*[2/(2x+1)],  

du/dx - u*[2/(2x+1)] = (-x^2),  que ahora sí es una ED lineal de 1° grado.  Busco µ:

µ= e^(∫{-2/(2x+1)]*dx};  o:  µ= e^(-2*∫{1/(2x+1)]*dx};   CDV:  p=2x+1;  dp=2dx;  dx=dp/2;  reemplazo:  µ= e^(-∫{1/p]*dp};   Integro:  µ= e^-lnp;  µ= 1/p;  o:  µ= 1/(2x+1).

Sigo con la ED lineal:  µu = ∫ [-2/(2x+1)]*µ*dx;  µu = -2∫ dx/(2x+1)^2;  

(2x+1)*u = -∫ dp/p^2;  (2x+1)*u =  (1/p)+C;  devuelvo variable:  (2x+1)*u = (1/2x+1)+C;

u= [1/(2x+1)^2] + C/(2x+1);  pero debemos ponerla en función de y, no de u:

1/y = [1/(2x+1)^2] + C/(2x+1);  o:  y = {[1/(2x+1)^2] + C/(2x+1)}^(-1);  o:

y = [1 + C(2x+1)] / (2x+1)^2]^(-1);  o, finalmente:  y = (2x+1)^2 / [1+C(2x+1)].

Para dejarlo con x dependiente e y independiente:

x = (2y+1)^2 / [1+C(2y+1)].