Problema con plafón bombilla halógena, empalme

Hola a todos,
No sé como plantear mi duda pero vamos allá.
Tengo en el baño un plafón con una bombilla halogena, de repente al darle al interruptor tardaba varios segundos en encenderse la luz, cada vez tardaba más, hasta que dejo de funcionar. Cambié la bombilla y en principio bien, pero al poco tiempo sucedió lo mismo, me di cuenta de que por un lado de la bombilla los cables no hacían contacto bien, y al moverlos se encendía la luz o se apagaba. Cuando dejó de funcionar decidí cortar un trozo de cable y hacer un nuevo empalme. Mi problema es que no sé como funciona el empalme entre el cable y el soporte de la bombilla. Hay una tuerca por ahí que he quitado (con mucho esfuerzo) que creía que era lo que sujetaba el sistema, y que al abrirla podría sacar el trozo de cable antiguo y poner el nuevo y luego volver a apretarlo, pero cuando he quitado esa tuerca sigue todo igual.
No sé si me explico. No tengo mucha idea en este tema.
No sé si se puede comprar el soporte de la bombilla nuevo, si es igual para todas las lámparas halógenas... Tampoco sé como hacer el nuevo empalme porque no veo la manera de sacar el trocito de cable antiguo que ha quedado para pasar el nuevo.
Bueno, espero que alguien lo haya entendido y me pueda ayudar
Muchas gracias
Espero ayudaros yo en otros temas