Vel. De un cilindro acoplado a una rueda que gira
Tengo una rueda que gira sobre un eje que está en su centro y en el exterior de la rueda un cilindro cuyo eje es perpendicular al eje de giro de la rueda de diámetro bastante más pequeño que el de la rueda.
Bien el cilindro esta solidario (como si la genratriz estuviera pegada a la circunferencia de la rueda en un alzado) a la rueda que gira con velocidad angular w.
Mi problema es que cuando el cilindro esta en la parte superior del recorrido, tengo que soltarlo y no se a que velocidad lineal irá. No se si a W.r(centro de masas) o cual coger. ¿Tengo qué aplicar la conservación del momento cinético?
¿Por qué justo al soltarlo tengo como una cinta transportadora que va sincronizada y toza justo con dicho cilindro y quiero que roce a la misma velocidad para que no haya deslizamiento, no se si me explico, es eso por lo que necesito saber la v del cilindro que una vez suelto supongo que tendrán la misma v todas sus partículas no?
No se si me he explicado bien.
La rueda gira sobre un eje, como una noria, y el cilindro esta pegado (para que t hagas la idea de en que posición esta el cilindro respecto a la rueda t digo que el eje del cilindro es perpendicular al del giro, como si un lápiz estuviera encima de la circnferencia de la noria y la punta del lápiz mira hacia la derecha por ej.)
Bien pues el cilindro gira solidario a la rueda, ni rozamiento ni nada, lo tengo por así decir atornillado.
Entonces todo gira, y cuando el cilindro llega arriba, lo suelto(lo desatornillo con un mecanismo por así decir).
Bien ahora quiero predecir como continuara el cilindro, con que velocidad saldrá despedido, ¿girara? O simplemente saldrá despedido, recto, ¿sin giro hacia la derecha suponiendo que la rueda estaba girando en sentido horario?
Necesito una respuesta matemática, no se si influye el momento cinético o que, yo dibujo las velocidades de cada partícula justo en el instante antes de soltarlo y cada partícula tiene una velocidad distinta (bien sea modulo en algunos caso o dirección en otros). Entonces a partir de ahí no se seguir.
Bien el cilindro esta solidario (como si la genratriz estuviera pegada a la circunferencia de la rueda en un alzado) a la rueda que gira con velocidad angular w.
Mi problema es que cuando el cilindro esta en la parte superior del recorrido, tengo que soltarlo y no se a que velocidad lineal irá. No se si a W.r(centro de masas) o cual coger. ¿Tengo qué aplicar la conservación del momento cinético?
¿Por qué justo al soltarlo tengo como una cinta transportadora que va sincronizada y toza justo con dicho cilindro y quiero que roce a la misma velocidad para que no haya deslizamiento, no se si me explico, es eso por lo que necesito saber la v del cilindro que una vez suelto supongo que tendrán la misma v todas sus partículas no?
No se si me he explicado bien.
La rueda gira sobre un eje, como una noria, y el cilindro esta pegado (para que t hagas la idea de en que posición esta el cilindro respecto a la rueda t digo que el eje del cilindro es perpendicular al del giro, como si un lápiz estuviera encima de la circnferencia de la noria y la punta del lápiz mira hacia la derecha por ej.)
Bien pues el cilindro gira solidario a la rueda, ni rozamiento ni nada, lo tengo por así decir atornillado.
Entonces todo gira, y cuando el cilindro llega arriba, lo suelto(lo desatornillo con un mecanismo por así decir).
Bien ahora quiero predecir como continuara el cilindro, con que velocidad saldrá despedido, ¿girara? O simplemente saldrá despedido, recto, ¿sin giro hacia la derecha suponiendo que la rueda estaba girando en sentido horario?
Necesito una respuesta matemática, no se si influye el momento cinético o que, yo dibujo las velocidades de cada partícula justo en el instante antes de soltarlo y cada partícula tiene una velocidad distinta (bien sea modulo en algunos caso o dirección en otros). Entonces a partir de ahí no se seguir.
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Supongo que el cilindro tiene un radio tan pequeño que puede considerarse una varilla.
El momento de inercia respecto a un eje que pasa por su centro de gravedad es:
I(c)=1/12ml^2
Donde l es la longitud de la varilla y m su masa.
El teorema de Steiner nos dice que cuando un cuerpo gira en torno a un eje que no pasa por su centro de gravedad, el momento de inercia tiene 2 términos:
I=I(c)+mr^2
Como veras, el segundo termino es igual al que tendría una masa puntual que girase sobre la rueda. Ese termino, es el que calculando su energía nos daría la velocidad lineal de salida
1/2mr^2w^2=1/2mv^2
de donde se deduce v=wr.
Como no actúan fuerzas externas, se debe conservar la energía, así que el otro termino debe darnos la energía cinética correspondiente al giro de la varilla
1/2I(c)w^2=1/2I(c)w'^2
Donde w' es la velocidad angular final de la varilla respecto a su centro de gravedad, pero como el momento de inercia respecto al centro de gravedad de la varilla no ha cambiado, la velocidad angular debe ser la misma que la de la rueda w'=w.
También podías haberlo calculado aplicando la conservación de momento angular Iw. Despreciaremos el momento angular de la rueda como en el caso anterior porque no varia.
(1/12ml^2+ mr^2)*w=1/12ml^2*w'+ mr(t)^2w(t)
Donde w' es la velocidad angular de la varilla respecto a su centro de gravedad, w(t) es la velocidad angular de la varilla, una vez suelta, respecto al eje de la rueda. r(t) sera la distancia del centro de gravedad de la varilla al eje de la rueda, que al estar suelta, dependen del tiempo (la varilla se aleja del eje de la rueda)
Ahora viene la parte más complicada, calcular w(t). Bien, en un tiempo t, el centro de gravedad de la varilla se habrá desplazado v*t, pero como la velocidad no puede haber variado puesto que no hay fuerzas externas v=w*r. Así que en un momento t tenemos un triangulo recto donde los catetos son r y w*r*t y la hipotenusa es r(t),
si dibujas este triangulo, veras que w(t) seria la proyección de la velocidad lineal sobre el eje perpendicular a r(t) dividido por r(t), como v=wr
w(t)=(w*r*cos(a(t)))/r(t) donde a(t) es el angulo que forman r(0) y r(t)
(r(0)= distancia entre el eje de la rueda y el centro de gravedad en t=0). Pero del mismo dibujo puedes sacar cos(a(t))=r/r(t), así que:
w(t)=w*r*(r/r(t))/r(t)=w*r^2/r(t)^2
asi que m*r(t)^2*w(t)=mr^2*w.
volvemos a la ecuacion que nos daba la conservacion del momento angular
(1/12ml^2+ mr^2)*w=1/12ml^2*w(c)+ mr(t)^2w(t)
sustituimos m*r(t)*w(t) y nos queda
(1/12ml^2^*w+mr^2*w=1/12ml^2*w'+mr^2*w
en ambos lados tenemos un termino igual, lo eliminamos y nos queda
1/12ml^2*w=1/12ml^2*w'
de donde w=w'.
Es decir, la varilla se desplaza hacia la derecha a velocidad v=w*r y gira alrededor de su centro de gravedad a velocidad w'=w, es decir la misma velocidad angular de la rueda. El mismo resultado que obteníamos al imponer conservación de la energía.
El momento de inercia respecto a un eje que pasa por su centro de gravedad es:
I(c)=1/12ml^2
Donde l es la longitud de la varilla y m su masa.
El teorema de Steiner nos dice que cuando un cuerpo gira en torno a un eje que no pasa por su centro de gravedad, el momento de inercia tiene 2 términos:
I=I(c)+mr^2
Como veras, el segundo termino es igual al que tendría una masa puntual que girase sobre la rueda. Ese termino, es el que calculando su energía nos daría la velocidad lineal de salida
1/2mr^2w^2=1/2mv^2
de donde se deduce v=wr.
Como no actúan fuerzas externas, se debe conservar la energía, así que el otro termino debe darnos la energía cinética correspondiente al giro de la varilla
1/2I(c)w^2=1/2I(c)w'^2
Donde w' es la velocidad angular final de la varilla respecto a su centro de gravedad, pero como el momento de inercia respecto al centro de gravedad de la varilla no ha cambiado, la velocidad angular debe ser la misma que la de la rueda w'=w.
También podías haberlo calculado aplicando la conservación de momento angular Iw. Despreciaremos el momento angular de la rueda como en el caso anterior porque no varia.
(1/12ml^2+ mr^2)*w=1/12ml^2*w'+ mr(t)^2w(t)
Donde w' es la velocidad angular de la varilla respecto a su centro de gravedad, w(t) es la velocidad angular de la varilla, una vez suelta, respecto al eje de la rueda. r(t) sera la distancia del centro de gravedad de la varilla al eje de la rueda, que al estar suelta, dependen del tiempo (la varilla se aleja del eje de la rueda)
Ahora viene la parte más complicada, calcular w(t). Bien, en un tiempo t, el centro de gravedad de la varilla se habrá desplazado v*t, pero como la velocidad no puede haber variado puesto que no hay fuerzas externas v=w*r. Así que en un momento t tenemos un triangulo recto donde los catetos son r y w*r*t y la hipotenusa es r(t),
si dibujas este triangulo, veras que w(t) seria la proyección de la velocidad lineal sobre el eje perpendicular a r(t) dividido por r(t), como v=wr
w(t)=(w*r*cos(a(t)))/r(t) donde a(t) es el angulo que forman r(0) y r(t)
(r(0)= distancia entre el eje de la rueda y el centro de gravedad en t=0). Pero del mismo dibujo puedes sacar cos(a(t))=r/r(t), así que:
w(t)=w*r*(r/r(t))/r(t)=w*r^2/r(t)^2
asi que m*r(t)^2*w(t)=mr^2*w.
volvemos a la ecuacion que nos daba la conservacion del momento angular
(1/12ml^2+ mr^2)*w=1/12ml^2*w(c)+ mr(t)^2w(t)
sustituimos m*r(t)*w(t) y nos queda
(1/12ml^2^*w+mr^2*w=1/12ml^2*w'+mr^2*w
en ambos lados tenemos un termino igual, lo eliminamos y nos queda
1/12ml^2*w=1/12ml^2*w'
de donde w=w'.
Es decir, la varilla se desplaza hacia la derecha a velocidad v=w*r y gira alrededor de su centro de gravedad a velocidad w'=w, es decir la misma velocidad angular de la rueda. El mismo resultado que obteníamos al imponer conservación de la energía.
