Ecuación de onda
Hola Eudemo, te quería hacer otra pregunta. ¿Sabes cuál es la ecuación de onda de tiempo-espacio que describe a la onda producida en el agua cuando arrojamos un elemento "pequeño" (suponiendo que el agua es un medio perfectamente elástico)? De ahí mi pregunta de la envolvente. Porque en el centro, donde se produce la onda, es el máximo valor y luego la onda va decayendo en amplitud radialmente. Me interesa más que nada saber cual es esa envolvente aunque sea en un plano perpendicular a la superficie descripta por la onda, no se si me explico. Muchas gracias por todo.
1 respuesta
Respuesta de eudemo
1
Facundo
En las ondas hay una perturbación de alguna propiedad del medio, se propaga a través del espacio transportando energía.
Llamando F a la propiedad que se propaga resulta que F es función del espacio y del tiempo.
La ecuación de la onda relaciona la derivada parcial segunda de F con respecto a t con el laplaciano de F
Nabla2 F = k d2F/dt2
Donde que es 1/v2.
En coordenadas cilíndricas es es F=F(r, z, fi, t) . El laplaciano en coordenadas cilíndricas es
Nabla2 F(r,z,fi) = 1/r d/dr [ r dF/dr ]+1/r2 d2F/dfi2 +d2F/dz2
Si hay simetría y F no depende de fi ni de z entonces es
Nabla2 F=1/r d/dr [ r dF/dr ]
que es igual a
1/r dF/dr + d2F/dr2
Entonces la ecuación es
1/r dF/dr + d2F/dr2 = k d2F/dt2 (1)
La manera más común de resolver estas ecuaciones es probar con ciertas F a ver si funciona. Yo supongo que si metes una F = 1/r sen(w t- w/v r) vas a poder equilibrar todo dando valores adecuados de las constantes y usando las condiciones físicas y las condiciones de contorno.
Suerte . Cualquier cosa me avisas.
Eudemo
En las ondas hay una perturbación de alguna propiedad del medio, se propaga a través del espacio transportando energía.
Llamando F a la propiedad que se propaga resulta que F es función del espacio y del tiempo.
La ecuación de la onda relaciona la derivada parcial segunda de F con respecto a t con el laplaciano de F
Nabla2 F = k d2F/dt2
Donde que es 1/v2.
En coordenadas cilíndricas es es F=F(r, z, fi, t) . El laplaciano en coordenadas cilíndricas es
Nabla2 F(r,z,fi) = 1/r d/dr [ r dF/dr ]+1/r2 d2F/dfi2 +d2F/dz2
Si hay simetría y F no depende de fi ni de z entonces es
Nabla2 F=1/r d/dr [ r dF/dr ]
que es igual a
1/r dF/dr + d2F/dr2
Entonces la ecuación es
1/r dF/dr + d2F/dr2 = k d2F/dt2 (1)
La manera más común de resolver estas ecuaciones es probar con ciertas F a ver si funciona. Yo supongo que si metes una F = 1/r sen(w t- w/v r) vas a poder equilibrar todo dando valores adecuados de las constantes y usando las condiciones físicas y las condiciones de contorno.
Suerte . Cualquier cosa me avisas.
Eudemo
OK muy buena tu respuesta. Te quería pedir otra cosa, en caso que no te sea pesado, si no tienes tiempo igualmente ya te califico 5 estrellas desde ya; porque a medida que me respondes e investigo me voy acercando más a lo que quiero, ¿qué cosa rara eso no? J
Tengo entendido que una ecuación de onda responde a la ecuación diferencial F(r, t)= 1/v*(d2r/d2t) ( r: vector, d2: es derivada diferencial segunda ) resolviendo esta ecuación seguramente obtendré la solución que necesito, pero estoy medio olvidado de todo eso. Vos me hiciste dar cuenta de lo que necesito y es resolver esa ecuación para la condición inicial de un impulso de amplitud A, ¿no se si estas al tanto de la distribución? ¿Impulso? ¿Se la suele representar?(t) ( tengo entendido que no cumple la definición de función pero igualmente se la usa en matemáticas ). Vayamos al caso puramente matemático de esa ecuación con esa condición inicial "impulso" ( que hace las veces de la piedra tendiendo a radio 0 y con la velocidad cada vez más grande ) en un medio perfectamente elástico y no dispersivo. Si se resuelve esa ecuación con esa condición estoy seguro que hallare lo que necesito, pero el tema es que no recuerdo como se resuelve la ecuación y he leído que una perturbación en el agua que produce ese frente de ondas radial se puede modelar con un impulso para resolver la ecuación. ¿Se me hace que esa? ¿Amplitud variable con r? Que modula la onda senoidal, ¿debe responder a algo como 1/(1+a*r^2) donde? ¿a? Es una constante. Muchas gracias por tu ayuda, esta ultima duda que te presento es para si tienes tiempo y ganas, ya que como te decía me olvide de resolver las ecuaciones diferenciales. Saludos.
Tengo entendido que una ecuación de onda responde a la ecuación diferencial F(r, t)= 1/v*(d2r/d2t) ( r: vector, d2: es derivada diferencial segunda ) resolviendo esta ecuación seguramente obtendré la solución que necesito, pero estoy medio olvidado de todo eso. Vos me hiciste dar cuenta de lo que necesito y es resolver esa ecuación para la condición inicial de un impulso de amplitud A, ¿no se si estas al tanto de la distribución? ¿Impulso? ¿Se la suele representar?(t) ( tengo entendido que no cumple la definición de función pero igualmente se la usa en matemáticas ). Vayamos al caso puramente matemático de esa ecuación con esa condición inicial "impulso" ( que hace las veces de la piedra tendiendo a radio 0 y con la velocidad cada vez más grande ) en un medio perfectamente elástico y no dispersivo. Si se resuelve esa ecuación con esa condición estoy seguro que hallare lo que necesito, pero el tema es que no recuerdo como se resuelve la ecuación y he leído que una perturbación en el agua que produce ese frente de ondas radial se puede modelar con un impulso para resolver la ecuación. ¿Se me hace que esa? ¿Amplitud variable con r? Que modula la onda senoidal, ¿debe responder a algo como 1/(1+a*r^2) donde? ¿a? Es una constante. Muchas gracias por tu ayuda, esta ultima duda que te presento es para si tienes tiempo y ganas, ya que como te decía me olvide de resolver las ecuaciones diferenciales. Saludos.
Efectivamente, la densidad de energía tiende a infinito cuando r tiende a cero.
Es que la piedra tiene que tener un cierto diámetro.
Primero creo conveniente recordar la distinción entre oscilación libre y oscilación forzada. Supongamos que hay un niño en un columpio (en arg. Hamaca) y yo lo empujo (en arg. Lo hamaco). Cuando el niño y el columpio se desplazan libremente lejos de mi mano es una oscilación libre . Cuando mi mano hace contacto y altera ese movimiento estamos ante una oscilación forzada.
Lo mismo pasa con esa agua "perfectamente elástica" de la cual partimos.
Las partes en contacto con la piedra realizan una oscilación que no sigue las leyes del resto: es una oscilación forzada.
Si la piedra la hacemos más y más chica y siempre la arrojamos con la misma velocidad llega el momento en que el agua no se mueve .Es que la piedra es tan chica que no la afecta. Si a medica que hacemos la piedra más y más chica con el propósito de mantener el mismo nivel de olas debemos imprimirle más y más velocidad a la piedra. Para que la piedra reducida hasta un punto pueda mover y alterar el agua de su entorno su velocidad tiene que ser infinita.
Para expresarlo correctamente, si el diámetro y la masa de la piedra tienden a cero su velocidad debe tender a infinito. ¿Si?
¿Que ocurre con el campo creado por una carga eléctrica.?
Varia según 1/r^2 .
¿Eso significa que es infinito para r=0?
Si en el caso de una carga puntual
¿Existe en realidad una carga puntual?
No. Eso implicaría energía infinita
Ni siquiera al electrón se lo considera una carga puntual
El llamado "radio clásico del electrón" surge de suponer que la energía de un electrón no es infinita., y su valor se limita a m c^2.
Imagina ahora el campo creado por una esfera con densidad volumétrica de carga en su interior. Al acercarnos a ella el campo eléctrico se va haciendo cada vez más grande, de acuerdo con la ley 1/r^2 pero al ingresar al interior de la esfera ahora la ley es otra. El campo ahora es proporcional a r.
Lo mismo ocurre con nuestra envolvente. La amplitud sigue la ley 1/r en la zona libre pero en la zona de oscilaciones forzadas (en contacto con la piedra) la ley es otra, como por ejemplo amplitudes constantes.
¿Te parece más claro ahora?
Es que la piedra tiene que tener un cierto diámetro.
Primero creo conveniente recordar la distinción entre oscilación libre y oscilación forzada. Supongamos que hay un niño en un columpio (en arg. Hamaca) y yo lo empujo (en arg. Lo hamaco). Cuando el niño y el columpio se desplazan libremente lejos de mi mano es una oscilación libre . Cuando mi mano hace contacto y altera ese movimiento estamos ante una oscilación forzada.
Lo mismo pasa con esa agua "perfectamente elástica" de la cual partimos.
Las partes en contacto con la piedra realizan una oscilación que no sigue las leyes del resto: es una oscilación forzada.
Si la piedra la hacemos más y más chica y siempre la arrojamos con la misma velocidad llega el momento en que el agua no se mueve .Es que la piedra es tan chica que no la afecta. Si a medica que hacemos la piedra más y más chica con el propósito de mantener el mismo nivel de olas debemos imprimirle más y más velocidad a la piedra. Para que la piedra reducida hasta un punto pueda mover y alterar el agua de su entorno su velocidad tiene que ser infinita.
Para expresarlo correctamente, si el diámetro y la masa de la piedra tienden a cero su velocidad debe tender a infinito. ¿Si?
¿Que ocurre con el campo creado por una carga eléctrica.?
Varia según 1/r^2 .
¿Eso significa que es infinito para r=0?
Si en el caso de una carga puntual
¿Existe en realidad una carga puntual?
No. Eso implicaría energía infinita
Ni siquiera al electrón se lo considera una carga puntual
El llamado "radio clásico del electrón" surge de suponer que la energía de un electrón no es infinita., y su valor se limita a m c^2.
Imagina ahora el campo creado por una esfera con densidad volumétrica de carga en su interior. Al acercarnos a ella el campo eléctrico se va haciendo cada vez más grande, de acuerdo con la ley 1/r^2 pero al ingresar al interior de la esfera ahora la ley es otra. El campo ahora es proporcional a r.
Lo mismo ocurre con nuestra envolvente. La amplitud sigue la ley 1/r en la zona libre pero en la zona de oscilaciones forzadas (en contacto con la piedra) la ley es otra, como por ejemplo amplitudes constantes.
¿Te parece más claro ahora?
En el caso de una onda la envolvente sigue la variación de la amplitud. Ni más ni menos.
Te comento un caso típico: una onda plana en un medio disipativo. La amplitud decrece exponencialmente. Bueno, la envolvente de las ondas es una exponencial decreciente.
Otro ejemplo: si tenemos una onda esférica en un medio no disipativo la amplitud decrece con el radio al cuadrado
A = k 1/r^2
Donde que es una constante.
Esto es así porque la energía se distribuye en una superficie esférica.
Como me hablas de un medio perfectamente elástico entonces es no disipativo .
Hay otra cosa que aclarar. En el caso de una piedra que impacta sobre la superficie del agua la interacción agua-piedra es complicada de calcular.
Depende incluso de radio de la piedra. Por eso es complicado darte la función de la onda . Lo que sí se pude saber es la ecuación de la envolvente que en este caso será
A= k 1/r
Ya que la energía de la onda de distribuye en el perímetro de una circunferencia. El perímetro crece en proporción al el radio.
La amplitud es entonces inversamente proporcional al radio.
Ahora cualquier desplazamiento del agua en el punto central se traslada hacia la periferia. Una función de onda depende.
La función de onda depende de r y de t. Para una onda plana no disipativa es función de (r-t/v) donde v es la velocidad de propagación.
Si querés observar ese proceso yo hice un pequeño simulador que podes encontrar en
www.vectorg.net/onda.html
Si tenés más preguntas escribime.
Te comento un caso típico: una onda plana en un medio disipativo. La amplitud decrece exponencialmente. Bueno, la envolvente de las ondas es una exponencial decreciente.
Otro ejemplo: si tenemos una onda esférica en un medio no disipativo la amplitud decrece con el radio al cuadrado
A = k 1/r^2
Donde que es una constante.
Esto es así porque la energía se distribuye en una superficie esférica.
Como me hablas de un medio perfectamente elástico entonces es no disipativo .
Hay otra cosa que aclarar. En el caso de una piedra que impacta sobre la superficie del agua la interacción agua-piedra es complicada de calcular.
Depende incluso de radio de la piedra. Por eso es complicado darte la función de la onda . Lo que sí se pude saber es la ecuación de la envolvente que en este caso será
A= k 1/r
Ya que la energía de la onda de distribuye en el perímetro de una circunferencia. El perímetro crece en proporción al el radio.
La amplitud es entonces inversamente proporcional al radio.
Ahora cualquier desplazamiento del agua en el punto central se traslada hacia la periferia. Una función de onda depende.
La función de onda depende de r y de t. Para una onda plana no disipativa es función de (r-t/v) donde v es la velocidad de propagación.
Si querés observar ese proceso yo hice un pequeño simulador que podes encontrar en
www.vectorg.net/onda.html
Si tenés más preguntas escribime.
