Movimiento armónico simple. Ejercicio de selectividad.

1. $$\begin{align}&w^2 = k/m   -->    m.w^2 = k\end{align}$$

   
   - frecuencia = nº oscilaciones / tiempo ,,,   f = n/t       ---->  f = 10 / 25'13 s   --->  f = 0'3979 s^-1 
2. - período =  tiempo / nº oscilaciones,,, ´T = 1/f  = t/n   --->  T = 25'13 s / 10  --->  T = 2'513 s

de la ecuación f = w/2.pi se tiene:

    f = w/2.pi  --->  0'3979 s^-1 = w/2 x 3'1416 rad  ó ---> 10 / 25'13 s =  w/2 x 3'14 rad  ---> w = 2'5 rad/s

que nos va ayudar en la ecuación, w=raiz (k/m)

$$\begin{align}&w = \sqrt(k/m)\end{align}$$

que es lo mismo decir que ,, w^2 = k/m

$$\begin{align}&w^2 = k/m   --> m.w^2 = k\end{align}$$

por tanto, 0'2 Kg. (2'5 rad/s)^2  =  (200g = 0'2 Kg)   --->   k = 1'25 N/m

1. la ecuacion de movimiento es ...  y = A.sen(wt)

                      donde A = 20cm = 0'2 m

1. La energía total se define como Et = Ec + Ep  (E. cinética + E. potencial).
2.       Ec = 1/2.m.v^2          o bien... Ec = 1/2.k.(A^2 - x^2).
3.                                                     Ep = 1/2.k.x^2

donde "x"... es la distancia del objeto en una posición determinada ("y" en al figura)

                 la energia total Et = Ep = 1/2.k.A^2  = 1/2. 1'25 x 0'2^2  ---> Et = 0'025 Julios

...como Ec = 1/2.m.v^2   = 0'025 Julios   ----> v^2 = 0'025J x2 / 0'2Kg ---> v = 0'25 m/s

Un saludo

Habrás dado en teoría que las ecuación del movimiento armónico simple es:

$$\begin{align}&x(t)=A\,sen(\omega t+\varphi_0)\\ &\\ &\text{y de ella se deducen estas otras}\\ &\\ & v(t) = Aw\,\cos)wt+\varphi_0)\\ & a(t) = -w^2·x(t)\\ &\\ &\text{A es la amplitud}\\ &\omega\text{ la velocidad angular}\\ &\varphi_0 \text{ el ángulo de desfase}\\ &\\ &\text{Por otra parte la fuerza del resorte es } \\ &\\ &F=-kx\\ &\\ &luego\\ &\\ &-kx =  ma\\ &-kx = -m\omega^2x\\ &k=m\,w^2\\ &\\ &\text{La velocidad angular se calcula así:}\\ &\\ &\text {Cada ciclo son }2\pi\; rad\\ &10\; ciclos = 20\pi\; rad \\ &\\ &w= \frac{20\pi}{25.13}= 2.500272705 rad/s\\ &\\ &w^2 = 6.251363598\; rad^2/s^2\\ &\\ &k= 0.2 kg·6.251363598\; rad^2/s^2 =\\ &\\ &1.25027272 \;kg·rad^2/s^2\\ &\\ &\text {La ecuación se calcula así}\\ &\\ &x(t) = A sen(wt+\varphi_0)\\ &\\ &\text{La amplitud es lo que se estiro el muelle}\\ &\\ &x(t) = 0.2sen( 2.500272705·t\; rad+\varphi_0)\\ &\\ &Como\\ &t=0 \implies x(0) = 0.2\\ &\\ &x(0)=0.2sen(\varphi_0)=0.2\\ &\\ &sen(\varphi_0)= 1\\ &\\ &\varphi_0=\frac{\pi}2\\ &\\ &\text{Luego la ecuación de movimiento es}\\ &\\ &x(t)=0.2sen\left( 2.500272705·t\; rad+\frac{\pi}2\right)\\ &\\ &\end{align}$$

La energía total es la suma de la energía potencial elástica y la cinética y se conserva si no hay fuerzas no conservativas como es este caso. Luego la energía inicial será la que haya en todo momento.

En el momento inicial la velocidad es 0 luego solo hay energía potencial elástica

$$\begin{align}&E_p=\frac 12 k x^2= \frac 12·1.25027272·0.2^2=\\ & \\ & 0.0250054544 \;J\end{align}$$

Cuando pasa por el centro la energía potencial elástica es 0 porque su posición es x=0, luego la energía total es cinética

$$\begin{align}&0.0250054544\;J= \frac 12 0.2kg·v^2\\ &  \\ &  v^2=\frac{2·0.0250054544\, J}{0.2kg}=0.250054544 \;J/kg\end{align}$$

Es un lio esto de arrastrar las medidas, qué suerte tenemos los matemáticos de no tener que hacerlo. Pero la definición de Julio es

kg·m^2/s^2

con lo cual la medida de v^2 es m^2/s^2, está bien.

$$\begin{align}&v^2=0.250054544\; m^2/s^2\\ &  \\ &  v= \sqrt{0.250054544\; m^2/s^2}=0.500054541\,m/s\end{align}$$

Y eso es todo.  Como puedes ver hay algunas diferencias con la respuesta anterior en estilo y en los resultados.

La ecuación de movimiento está hecha en el supuesto de que la posión 0 es la del carrito cuando el muelle está en reposo, es una ecuación el el eje X no en el Y y tiene que tener el ángulo de desfase de pi/2, si no no está a 0.2m en el instante 0.

Y en la velocidad al pasar por el punto central (el punto x=0) se confundió en el cálculo.

Y eso es todo.