Problema Efecto Doppler
Tiene que ser una chorrada pero no doy con ello:
Una ambulancia circula por una calle de 5 m de ancha a 40 Km/h en
el sentido izquierda-derecha. Un transeúnte se encuentra parado en la
acera de enfrente (es decir a 5 m del carril por el que circula la
ambulancia).
Si cuando la ambulancia se encuentra a 200 m a su izquierda hace sonar su sirena a una frecuencia de 4000 Hz, calcular:
a) Frecuencias mínima y máxima que percibe el transeúnte
b) tiempo que ha transcurrido cuando percibe una frecuencia de 3900 Hz.
Soluciones: a) 3875 Hz y 4133 Hz, b) 18.6 s
------------
Con el apartado a) no hay problema, pero no doy con el b). ¿Qué pintan los 5 metros?
Una ambulancia circula por una calle de 5 m de ancha a 40 Km/h en
el sentido izquierda-derecha. Un transeúnte se encuentra parado en la
acera de enfrente (es decir a 5 m del carril por el que circula la
ambulancia).
Si cuando la ambulancia se encuentra a 200 m a su izquierda hace sonar su sirena a una frecuencia de 4000 Hz, calcular:
a) Frecuencias mínima y máxima que percibe el transeúnte
b) tiempo que ha transcurrido cuando percibe una frecuencia de 3900 Hz.
Soluciones: a) 3875 Hz y 4133 Hz, b) 18.6 s
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Con el apartado a) no hay problema, pero no doy con el b). ¿Qué pintan los 5 metros?
1 Respuesta
Respuesta
1
Para resolver el apartado b) utilizaremos la ecuación que rige el efecto Doppler cuando la fuente del sonido se aleja del receptor, esta es:
f´ = Vo/(Vo + Vf)*f
Siendo: Vo -> La velocidad del sonido en el aire, tomamos 340 m/s.
Vf -> Velocidad de la fuente emisora en la dirección del receptor en cada momento.
F - > Frecuencia del sonido recibido por el receptor en reposo de la fuente emisora.
f´-> Frecuencia del sonido recibido por el receptor en movimiento de la fuente emisora.
La situación de la ambulancia y del transeúnte nos da un triángulo rectángulo en el que la hipotenusa es la dirección del sonido hacia el receptor y va variando con el tiempo, es decir, si proyectamos el vector velocidad de la ambulancia sobre esta hipotenusa tenemos que esta velocidad es variable con el tiempo.
Vf = V(ambulancia)*Cos(alfa); siendo alfa el ángulo formado por los dos catetos del triángulo rectángulo.
Como el problema nos pide el tiempo transcurrido hasta que se escucha una frecuencia inferior a la que recibiría el transeúnte si la ambulancia estuviera parada, eso significa que la ambulancia se está alejando del mismo. Entonces, el tiempo transcurrido será el que tarda la ambulancia en recorrer los 200 m de carretera hasta la posición del transeúnte más un tiempo "x" en el que la ambulancia se está alejando.
Si sustituimos la expresión de la velocidad de la fuente en la ecuación del efecto Doppler cuando se aleja la fuente, tendremos:
f´= Vo/[Vo + V(amb)*Cos(alfa)]*f
Lo cual nos da que la frecuencia variará con el ángulo que se forma, en este caso alejándose, y viceversa. Aquí es donde entra en juego el dato de los 5 m, aunque también debía ser tenido en cuenta en al apartado a) pero su omisón no afecta sensiblemente al resultado.
La tangente del ángulo alfa será: tag(alfa) = 5 / d; siendo "d" la distancia que se habrá alejado la ambulancia de la posición vertical donde se encuentra el transeúnte.
Si sustituimos por los valores que conocemos en la ecuación del efecto Doppler tendremos: (Se han pasado los 40 Km/h a m/s dividiendo por 3,6)
3900 = 340/[340 + 40/3,6*Cos(alfa)]*4000;
Se obtiene un Cos(alfa) = 0,785 ---> alfa = 38,28 º
Para ese ángulo calculado sustituimos en la expresión de la tangente y:
d =5 / tag(38,28º) = 6,33 m
Esa es la distancia horizontal que se habrá alejado la ambulancia de la posición del transeúnte, entonces ya finalmente:
Tiempo total = Tiempo empleado acercándose al transeúnte + Tiempo empleado alejándose hasta que la frecuencia de 3900 Hz (Movimiento siempre uniforme en la dirección horizontal de la carretera)
Tiempo total = 200/[(40/3,6)] + 6,33/[(40/3,6)] = 18,57 s = 18,6 s
Un saludo, Vitolinux
f´ = Vo/(Vo + Vf)*f
Siendo: Vo -> La velocidad del sonido en el aire, tomamos 340 m/s.
Vf -> Velocidad de la fuente emisora en la dirección del receptor en cada momento.
F - > Frecuencia del sonido recibido por el receptor en reposo de la fuente emisora.
f´-> Frecuencia del sonido recibido por el receptor en movimiento de la fuente emisora.
La situación de la ambulancia y del transeúnte nos da un triángulo rectángulo en el que la hipotenusa es la dirección del sonido hacia el receptor y va variando con el tiempo, es decir, si proyectamos el vector velocidad de la ambulancia sobre esta hipotenusa tenemos que esta velocidad es variable con el tiempo.
Vf = V(ambulancia)*Cos(alfa); siendo alfa el ángulo formado por los dos catetos del triángulo rectángulo.
Como el problema nos pide el tiempo transcurrido hasta que se escucha una frecuencia inferior a la que recibiría el transeúnte si la ambulancia estuviera parada, eso significa que la ambulancia se está alejando del mismo. Entonces, el tiempo transcurrido será el que tarda la ambulancia en recorrer los 200 m de carretera hasta la posición del transeúnte más un tiempo "x" en el que la ambulancia se está alejando.
Si sustituimos la expresión de la velocidad de la fuente en la ecuación del efecto Doppler cuando se aleja la fuente, tendremos:
f´= Vo/[Vo + V(amb)*Cos(alfa)]*f
Lo cual nos da que la frecuencia variará con el ángulo que se forma, en este caso alejándose, y viceversa. Aquí es donde entra en juego el dato de los 5 m, aunque también debía ser tenido en cuenta en al apartado a) pero su omisón no afecta sensiblemente al resultado.
La tangente del ángulo alfa será: tag(alfa) = 5 / d; siendo "d" la distancia que se habrá alejado la ambulancia de la posición vertical donde se encuentra el transeúnte.
Si sustituimos por los valores que conocemos en la ecuación del efecto Doppler tendremos: (Se han pasado los 40 Km/h a m/s dividiendo por 3,6)
3900 = 340/[340 + 40/3,6*Cos(alfa)]*4000;
Se obtiene un Cos(alfa) = 0,785 ---> alfa = 38,28 º
Para ese ángulo calculado sustituimos en la expresión de la tangente y:
d =5 / tag(38,28º) = 6,33 m
Esa es la distancia horizontal que se habrá alejado la ambulancia de la posición del transeúnte, entonces ya finalmente:
Tiempo total = Tiempo empleado acercándose al transeúnte + Tiempo empleado alejándose hasta que la frecuencia de 3900 Hz (Movimiento siempre uniforme en la dirección horizontal de la carretera)
Tiempo total = 200/[(40/3,6)] + 6,33/[(40/3,6)] = 18,57 s = 18,6 s
Un saludo, Vitolinux
¡Impresionante! Muy rápido y muy claro. Cojonudo.
Muchísimas gracias vitolinux, yo es ver un ángulo y ya me pongo nervioso :D
Muchísimas gracias vitolinux, yo es ver un ángulo y ya me pongo nervioso :D