Ecuaciones Péndulo Invertido (Principio de Hamilton)
Te escribo porque no entiendo de donde salen las siguientes ecuaciones del péndulo invertido:
(1) (M+m) x''(t) ? M L sinß(t) ß'(t)^2 + m L cosß(t) ß''(t) = F(t)+Ffric(t),
(2) m L cosß(t) x''(t) ? M g L sinß(t) + 4/3 m L^2 ß''(t) = 0,
Notación:
M, masa del carro
m, masa del péndulo (varilla + plomada)
L, distancia desde el eje de rotación hasta el centro de masas del péndulo
ß, ángulo que forma la varilla del péndulo con la vertical (ß=0 significa péndulo en posición invertida)
Por, distancia desde el origen de coordenadas hasta el eje de rotación del péndulo
', derivada 1° respecto del tiempo
'', derivada 2° respecto del tiempo
Digamos que la única explicación que dan es que usan el principio de Hamilton y plantan las ecuaciones. He encontrado otros resultados en los que dicen que aplican las ecuaciones de Lagrange para las coordenadas generalizadas por y ß y obtienen la misma ecuación (1) pero distinta ecuación (2):
(2') m L cosß(t) x''(t) + m g L sinß(t) + (I + m L^2) ß''(t) = 0,
Mi pregunta es la siguiente: ¿Estos resultados realmente son el mismo? Porque deberían serlo, ¿no?
Las diferencias están en el signo del segundo sumando y en que aquí aparece I (momento de inercia del péndulo). En cuanto al signo, no se, será algo que esta definido al revés en un esquema que en otro, aunque a mi me parecen iguales. Y respecto a la I, por inspección, I=1/3 m L^2 para que las ecuaciones cuadren, pero ni idea de el porque .
Además si ese es el valor de I: ¿Por qué el segundo autor no lo sustituye? (Ya son ganas de meter otra incógnita)
Muchas gracias por tu tiempo, he intentado explicarme lo mejor posible, pero si no entiendes algo dímelo e intentaré explicarlo mejor ;-).
1 saludo.
(1) (M+m) x''(t) ? M L sinß(t) ß'(t)^2 + m L cosß(t) ß''(t) = F(t)+Ffric(t),
(2) m L cosß(t) x''(t) ? M g L sinß(t) + 4/3 m L^2 ß''(t) = 0,
Notación:
M, masa del carro
m, masa del péndulo (varilla + plomada)
L, distancia desde el eje de rotación hasta el centro de masas del péndulo
ß, ángulo que forma la varilla del péndulo con la vertical (ß=0 significa péndulo en posición invertida)
Por, distancia desde el origen de coordenadas hasta el eje de rotación del péndulo
', derivada 1° respecto del tiempo
'', derivada 2° respecto del tiempo
Digamos que la única explicación que dan es que usan el principio de Hamilton y plantan las ecuaciones. He encontrado otros resultados en los que dicen que aplican las ecuaciones de Lagrange para las coordenadas generalizadas por y ß y obtienen la misma ecuación (1) pero distinta ecuación (2):
(2') m L cosß(t) x''(t) + m g L sinß(t) + (I + m L^2) ß''(t) = 0,
Mi pregunta es la siguiente: ¿Estos resultados realmente son el mismo? Porque deberían serlo, ¿no?
Las diferencias están en el signo del segundo sumando y en que aquí aparece I (momento de inercia del péndulo). En cuanto al signo, no se, será algo que esta definido al revés en un esquema que en otro, aunque a mi me parecen iguales. Y respecto a la I, por inspección, I=1/3 m L^2 para que las ecuaciones cuadren, pero ni idea de el porque .
Además si ese es el valor de I: ¿Por qué el segundo autor no lo sustituye? (Ya son ganas de meter otra incógnita)
Muchas gracias por tu tiempo, he intentado explicarme lo mejor posible, pero si no entiendes algo dímelo e intentaré explicarlo mejor ;-).
1 saludo.
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Respuesta de putin13
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En principio por definición las mecánicas Lagrangianas y Hamiltonianas no son lo mismo. Mecánica Lagrangiana describe el sistema de n coordinatas con n equaciones diferenciales de segundo orden (ecuaciones de movimiento), con la ventaja que estos son invariantes a cualquier cambio en este sistema de coordinadas. Mecánica Hamiltoniana describe la evolución temporal del sistema mediante equaciones diferenciales de primer orden, con la pecularidda que tratan de igual forma las coordinadas y momentos ( se puede hacer un cambio de coordinadas, y la sposiciones se convertirán en momentos y vice versa).
Otra cosa que los resultados- soluciones para cada problema en concreto deben dar lo mismo, pero esto ya hay que mirar para los casos concretos y compararlos.
Otra cosa que los resultados- soluciones para cada problema en concreto deben dar lo mismo, pero esto ya hay que mirar para los casos concretos y compararlos.
