Tengo un problema de física y me lío con los conceptos: energía cinética, gravitatoria, rotacional.
Me han pedido que explique un problema y no sé cómo hacerlo. Es el siguiente:un carrete, de radio central pequeño pero cuyos extremos tienen un radio muy grande, se deja rodar por un plano inclinado sobre su cilindro central de radio pequeño. Sabemos que la energía potencial gravitatoria que tiene en la parte alta del plano se transforma en energía cinética tanto traslacional como rotacional. Al llegar a la parte inferior del plano inclinado comienza a rodar sobre sus extremos de radio más grande de modo que su velocidad lineal aumenta y su velocidad angular disminuye. Es fácil verlo pero cómo puedo demostrarlo en términos matemáticos.
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Respuesta de chefli
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Lo primero pedir disculpas pero estos días he estado realmente ocupado.
Voy a proponerte una solución a ver que te parece...
Nos basamos en el teorema de conservación de energía, puesto que no actúan fuerzas no conservativas. Llamamos con A a las magnitudes asociadas a la rueda de menor radio y B a las del radio mayor. Supongamos que la altura del plano inclinado es h. La energía total del sistema al inicio, cuando aún no hemos soltado el carrete, será toda energía potencial: Ep=mgh. Suponiendo ahora un punto cualquiera del plano inclinado que esté situado a una altura desde el suelo h'. La energía total en este lugar será: E=mgh'+1/2(mwA^2*RA^2),
Es decir, en ese punto hay energía potencial por estar a la altura h' y energía cinética. (Un medio de la masa por la velocidad angular de la rueda pequeña al cuadrado por el radio de la rueda pequeña al cuadrado).
Al final del plano inclinado, la energía total será todo energía cinética y será igual a E=1/2(mwB^2*RB^2). Como se conserva toda la energía debe ser igual a la que teníamos al principio, es decir mgh. En el caso que consideramos a medio camino también sería igual esa expresión a mgh. Tenemos pues dos ecuaciones donde despejamos wA por un lado (velocidad angular en un punto cualquiera del plano inclinado y que depemderá de h') y wB por el otro. Y nos queda:
wA= raiz cuadrada de (2(gh-gh')/RA^2)
wB= raiz cuadrada de(2gh/RA^2)
Despejamos el radio en cada caso e imponemos la condición que nos da el enunciado de que RAesmenorqueRB. Es una inecuación donde buscamos al final que queden comparados wA y wB. Operando queda:
WAmayorqueraizcuadradade(1-(h'/h))*wB; y como h' siempre será más pequeño que h, lo que acompaña a wB será siempre menor que 1. Por lo que queda al final demostrado que si RAmenorqueRB, entonces wBmayorquewA.
Voy a proponerte una solución a ver que te parece...
Nos basamos en el teorema de conservación de energía, puesto que no actúan fuerzas no conservativas. Llamamos con A a las magnitudes asociadas a la rueda de menor radio y B a las del radio mayor. Supongamos que la altura del plano inclinado es h. La energía total del sistema al inicio, cuando aún no hemos soltado el carrete, será toda energía potencial: Ep=mgh. Suponiendo ahora un punto cualquiera del plano inclinado que esté situado a una altura desde el suelo h'. La energía total en este lugar será: E=mgh'+1/2(mwA^2*RA^2),
Es decir, en ese punto hay energía potencial por estar a la altura h' y energía cinética. (Un medio de la masa por la velocidad angular de la rueda pequeña al cuadrado por el radio de la rueda pequeña al cuadrado).
Al final del plano inclinado, la energía total será todo energía cinética y será igual a E=1/2(mwB^2*RB^2). Como se conserva toda la energía debe ser igual a la que teníamos al principio, es decir mgh. En el caso que consideramos a medio camino también sería igual esa expresión a mgh. Tenemos pues dos ecuaciones donde despejamos wA por un lado (velocidad angular en un punto cualquiera del plano inclinado y que depemderá de h') y wB por el otro. Y nos queda:
wA= raiz cuadrada de (2(gh-gh')/RA^2)
wB= raiz cuadrada de(2gh/RA^2)
Despejamos el radio en cada caso e imponemos la condición que nos da el enunciado de que RAesmenorqueRB. Es una inecuación donde buscamos al final que queden comparados wA y wB. Operando queda:
WAmayorqueraizcuadradade(1-(h'/h))*wB; y como h' siempre será más pequeño que h, lo que acompaña a wB será siempre menor que 1. Por lo que queda al final demostrado que si RAmenorqueRB, entonces wBmayorquewA.
Te escribí la conclusión al revés. La conclusión quería decir quecualquiera que fuera h', la velocidad angular en la rampa siempre será mayor que la velocidad angular abajo.
Es decir: wAmayorquewB.
No he tenido en cuenta la energía cinética rotacional, creo que los cálculos son análogos.
Es decir: wAmayorquewB.
No he tenido en cuenta la energía cinética rotacional, creo que los cálculos son análogos.
Muchísimas gracias. Ah! Y nada de pedir disculpas, nunca es tarde para conocer una sabia respuesta . En todo caso soy yo quien debe disculparse por ocupar tu tiempo.
